1. Hosila haqida tushuncha. Hosilaning geometrik va fizik ma‘nolari

Masalan, funksiya nuqtada uzluksiz, ammo differensiallanuvchi emas.


3-ta’rif. Agar funksiya intervalining har bir nuqtasida differensiallanuvchi bo’lib, va hosilalar mavjud bo’lsa, u holda funksiya intervalda differensiallanuvchi deyiladi.
Agarda funksiya intervalda uzluksiz bo’lsa, u holda funksiya intervalda uzluksiz differensiallanuvchi deb yuritiladi.


2.Hosilaning geometrik va fizik ma‘nolari.

Differensial hisobning geometriyadagi tatbig’ini ko’rish uchun funksiya grafigi chiziqning biror nuqtasiga o’tkazilgan urinma ta’rifini beramiz.

funksiya nuqtaning biror atrofida aniqlangan va , bo’lsin.
4-ta’rif. egri chiziqqa o’tqazilgan kesuvchining nuqtasi egri chiziq bo’ylab nuqtaga ixtiyoriy ravishda yaqinlashadigan limit holati egri chiziqqa nuqtasidan o’tkazilgan urinma deb aytiladi.

у
f(x)

f(x₀ +x) P

f
f(x₀) M
  x
0 x₀ x₀ + x x


kesuvchining burchak koeffisienti: . Uning nolga intilgandagi limiti esa bir tomondan urinma burchak koeffisienti ga teng bo’lsa, ikkinchi tomondan hosila ta’rifiga ko’ra, funksiyaning nuqtadagi hosilasi ga teng.
Demak,
Bundan hosilaning geometrik ma’nosi kelib chiqadi.
2-teorema. funksiyaning nuqtadagi hosilasi, funksiya grafigiga abssissali nuqtasidan o’tkazilgan urinmaning burchak koeffisientiga teng:
Hosilaning geometrik ma’nosidan foydalanib, funksiya grafigining nuqtasiga o’tkazilgan urinma va normal tenglamalarini quyidagicha yozilishi mumkin:
(urinma tenglamasi); (3) (normal tenglamasi). (4)
_Masalan, funksiya grafigining absissali nuqtasiga o’tkazilgan urinma tenglamasi:
funksiya nuqtada chekli hosilaga ega bo’lsa, uni shu nuqtada erksiz o’zgaruvchi ning erkli o’zgaruvchi ga nisbatan o’zgarish tezligi sifatida talqin qilish mumkin. Funksiya orttirmasini uning differensiali bilan almashtirilishi esa, erksiz o’zgaruvchining o’zgarishini argumentning kichik o’zgarishiga nisbatan chiziqli jarayon sifatida hisoblash imkonini beradi.
Masalan, moddiy nuqtaning to’g’ri chiziq bo’ylab harakat qonuni funksiya bilan berilgan bo’lsin. U holda, ixtiyoriy vaqt onidagi oniy tezlik kattaligi harakat qonunidan vaqt bo’yicha olingan birinchi tartibli hosila qiymatiga teng: .
Amaliy iqtisodiyotda tayyorlangan mahsulot hajmi bilan xom - ashyo sarfi orasida bog’liqlikni o’rnatuvchi ishlab chiqarish funksiyalari, tarmoqlar rivojini ta’minlashda, optimallash masalarida keng qo’llaniladi. Masalan, ikki o’zgaruvchili (faktorli) Kobb – Duglas ishlab chiqarish funksiyasi tayyorlangan mahsulot hajmi bilan ishlab chiqarish fondlari kattaligi va jonli mehnat sarfi hajmi orasidagi munosabatni quyidagicha aniqlaydi:

Bu yerda, va tanlanadigan o’zgarmas sonlar.
Ishlab chiqarish funksiyalari differensiallanuvchi deb taxmin qilinsa, hosila tushunchasi bilan bog’liq ularning differensial xarakteristikalari muhim ahamiyat kasb etadi. Masalan, agar ishlab chiqarish funksiyasi tayyorlangan mahsulot hajmi bilan xom - ashyo sarfi hajmi orasidagi bog’liqlikni ifodalasa, limit (chegaraviy) mahsulot deyiladi. Agarda, ishlab chiqarish xarajatlari bilan mahsulot hajmi o’rtasida munosabatni aks ettirsa, limit (chegaraviy) xarajatlar deb yuritiladi yoki xarajatlar cho’qqisini bildiradi.
funksiya elastikligi argumentning kichik nisbiy o’zgarish jadalligiga nisbatan funksiyaning nisbiy o’zgarish unumini aniqlaydi.