4-teorema (T). Agar funksiya oraliqda uzluksiz, qat’iy monoton o’suvchi (kamayuvchi) va hosila mavjud bo’lsa, u holda funksiyaga teskari funksiya nuqtada aniqlangan va hosilaga ega bo’lib,
(5)
tenglik o’rinli bo’ladi.
6-misol.
. (5) formulaga asosan
Demak
7-misol.
formulaga asosan
7.Oshkormas funksiyaning hosilasi.
o’zgaruvchilar yordamida funksiona bog’lanish biror
(6)
formula bilan berilgan bo’lsin. Agar biror oraliqda aniqlangan biror funksiya (6) tenglamani qanoatlantirsa, ya’ni uni ayniyatga aylantirsa, u holda funksiya (6) tenglik bilan aniqlangan oshkormas funksiya deyiladi.
Agar differensiallanuvchi funksiya oshkormas ko’rinishda berilgan bo’lsin ayniyatdan murakkab funksiya sifatida bo’yicha hosila olamiz. bu tenglikda
(7)
tenglikka ega bo’lamiz.
Oshkormas funksiya hosilasini uni oshkor holga keltirmasdan turib toppish mumkin.
8-misol. tenglama bilan berilgan funksiyaning hosilasini toping. Differentsiallaymiz:
,
9-misol. (8) ellipsning nuqtasidan o’tkazilgan urinma tenglamasini tuzing.
(8) tenglama ikkita oshkor funksiya orqali aniqlash mumkin. nuqta oraliqda bir qiymatli ifodalanadi. (8) tenglamani differensiallab tenglikka ega bo’lamiz. Oxirgi tenglikda noma’lum va lar o’rniga mos ravishda va sonlar qo’yib ellipsga nuqtasidan o’tkazilgan urinmaning burchak koeffisientini topamiz.
Demak urinmaning tenglamasi yoki tenglamani quyidagicha yozish mumkin . Bundan chunki
8.Parametric ko'rinishda berilgan funksiyaning hosilasi.
o’zgaruvchilar orasidagi funksional bog’lanishni har doim ham oshkor yoki oshkormas ko’rinishda yozish qulay bo’lmaydi. Ba’zan yordamchi o’zgaruvchi t ni kiritib, parametric ravishda ifodalash qulay bo’ladi:
Bu funksiya hosilasini toppish uchun formula chiqaramiz. Bunda funksiya teskari funksiyaga ega. Bu yerda ni ning murakkab funksiyasi deb hisoblash mumkin. Shu sababli murakkab funksiyani differensiallash qoidasiga ko’ra: (9)
Teskari funksiyani differentsiallash qoidasiga ko’ra Buni (9) ga qo’ysak . (10)
