1– Ma’ruza Mavzu: Kinematika. Moddiy nuqta kinematikasi

r
r
r
r t

( )
r
r
r
r
x
r
y
r
z
x
y
z



,
,
i
j
k
r
r
i
j
k
r
r
90- shakl.

---

o‘qlari bilan hosil qilgan burchaklari orqali berilishi mumkin. Vektorni qanday 
ko‘rinishda berilishidan qat’iy nazar, (10.1) formula orqali berilgandagi 
ko‘rinishdan kelib chiqadigan formulalarni keltirib chiqaramiz.
2. H a r a k a t n i k o o r d i n a t a l a r u s u l i d a b e r i l i s h i . Agar nuqtaning 
harakatini uning x,y,z koordinatalari vaqtning funktsiyasi sifatida berilgan bo‘lsa, 
uning holatini ular yordamida bevosita aniqlash mumkin. Nuqtaning harakat 
qonunini, ya’ni ixtiyoriy olingan vaqt uchun uning fazodagi holatini aniqlash 
uchun, quyidagi tenglamalar berilishi shart,
, 
, 
(10.3)
(10.3) tenglamalar sistemasi nuqta harakatining to‘g‘ri burchakli dekart 
koordinata o‘qlaridagi tenglamalari deb ataladi. Ular harakatni koordinata usulda 
berilgandagi harakat qonunlari hisoblanadi
[7]
.
Agar nuqtaning harakati har doim birorta tekislik ustida sodir bo‘lsa, bu 
tekislikni Oxy deb hisoblasak, u holda nuqtaning harakat qonuni ikkita 
tenglamadan iborat bo‘ladi,
, 
(10.4)
Agar nuqta faqat to‘g‘ri chiziq bo‘ylab harakat qilayotgan bo‘lsa, bu chiziqni 
Ox koordinata o‘qi deb hisoblasak, nuqtaning harakat qonuni bitta tenglamadan 
iborat bo‘ladi,
, (10.5)
(10.3) va (10.4) tenglamalar sistemasi, bir vaqtni o‘zida nuqta harakati 
traektoriyasining parametrik ko‘rinishdagi tenglamalari hisoblanadi va parametr 
sifatida t -vaqt ishlatilmoqda. Ushbu tenglamalar sistemasidan t -vaqtni yo‘qotib, 
traektoriyaning tenglamasini olish mumkin, ya’ni traektoriya koordinatalarning 
o‘zaro funktsiyasi sifatida ifodalanadi.
Misol. Nuqtaning Oxy tekisligidagi harakati,
x=2t, y=12t
2 
(a)
qonun orqali berilgan bo‘lsin. Bu erda x,y - lar santimetrda, t - sekundlarda 
o‘lchanadi.
Ushbu tenglamalar orqali t=0 s da nuqta M(0,0) holatda, ya’ni koordinata boshida 
ekanligini aniqlaymiz, t=1 s da nuqta M(2,12) holatda ekanligigini va h.. Demak, 
(a) tenglamalar orqali nuqtaning ixtiyoriy olingan vaqtdagi holatini aniqlashimiz 
mumkin ekan. Vaqt t - ga turli qiymatlarni bera borib, nuqtaning har bir 
sekunddagi holatini aniqlab, so‘ngra bu nuqtalarni bir-birlari bilan birlashtirsak, 
shaklda nuqtaning traektoriyasi tasvirlanadi. 
Traektoriyani boshqa usulda, ya’ni (a) tenglamalardan vaqt t -ni yo‘qotish orqali 
ham aniqlash mumkin. Buning uchun birinchi tenglamadan t -ni aniqlab (t=x/2) 
ikkinchi tenglamaga qo‘yamiz, u holda y=3x
2
bo‘ladi. Demak, nuqtaning 
traektoriyasi koordinata o‘qlarining markazidan boshlangan Oy o‘qiga parallel 
yo‘nalgan paraboladan iborat ekanligi aniqlandi. Traektoriyani aniqlashga oid 
boshqa misollarni 41§ da ko‘rib o‘tamiz.
3. N u q t a h a r a k a t i n i t a b i i y u s u l d a b e r i l i s h i x e " N u q t a h a r a k a t i :
t a b i i y u s u l : " . Nuqta harakatining tabiiy (yoki traektoriya orqali) usulda 
x
f t

1
( )
y
f t

2
( )
z
f t

3
( )
x
f t

1
( )
y
f t

2
( )
x
f t

1
( )

---

berilishi, asosan, uning traektoriyasi oldindan ma’lum bo‘lgan hollardagina ulardan 
foydalaniladi. Faraz qilaylik, M nuqta AB traektoriya bo‘ylab, Oxyz hisob 
sistemasiga nisbatan harakatda bo‘lsin (91-shakl). Ushbu traektoriyada 
qo‘zg‘almas bo‘lgan ixtiyoriy O’ nuqtani tanlab olamiz va uni tabiiy o‘qlarning 
koordinata boshi qilib belgilaymiz va o‘qning musbat yoki manfiy tomonlarini 
(oddiy koordinata o‘qlaridagi kabi) belgilab olamiz.
U holda M nuqtaning shu traektoriyadagi o‘rnini, ya’ni O’ nuqtadan M nuqtagacha 
bo‘lgan masofani, shu egri chiziqli traektoriyadagi s - koordinata orqali uning 
tegishli ishorasiga bog‘liq ravishda aniqlashimiz mumkin. M nuqta shu traektoriya 
bo‘ylab harakatlanganda M
1
, M
2
,...,M
n
va hokazo holatlarda bo‘ladi, demak s - 
koordinata ham vaqt davomida o‘zgarib boradi. M nuqtaning ixtiyoriy vaqt uchun 
shu traektoriyadagi o‘rnini aniqlash uchun,
s=f(t) (10.6)
qonuniyat berilishi kerak bo‘ladi.
(10.6) tenglama M nuqtaning traektoriya bo‘ylab harakat qonuni deb ataladi. 
Demak, nuqta harakatini tabiiy o‘qlarda berilishi uchun: 1) nuqtaning 
traektoriyasi; 2) shu traektoriyadagi hisob boshining O’ nuqtasi va tabiiy o‘qning 
musbat va manfiy yo‘nalishini belgilanishi; 3) nuqtaning shu traektoriya bo‘ylab 
s=f(t) ko‘rinishdagi harakat qonuni berilishi shart.
Shuni eslatib o‘tish lozimki (10.6) tenglamadagi s - nuqtaning 
traektoriyadagi o‘rnini belgilaydi xolos, ya’ni uning bosib o‘tgan masofasini 
belgilamaydi. Masalan, nuqta O’ nuqtadan harakatni boshlab M
1
nuqtaga kelsin 
(91-shakl), so‘ngra orqa tomonga qaytib M holatni egallagan bo‘lsa, u holda 
nuqtaning koordinatasi s=O’M bo‘ladi. Umumiy bosib o‘tilgan yo‘l esa, 
O’M+M
1
M ga teng bo‘ladi, ya’ni s - ga teng bo‘lmaydi, agar nuqta faqat bir 
tomonga harakat qilgan xususiy holdagina ular bir-birlariga teng bo‘lishlari 
mumkin.