1. Nomanfiy butun sonlar haqida O’nlik sanoq sistemasida amallar

Mavzu; O’nli sanoq sistemasida nomanfiy butun sonlar ustidagi arifmetik amallarning algoritmi
Reja:
1. Nomanfiy butun sonlar haqida
2.O’nlik sanoq sistemasida amallar
3. Ummumiy tushunchalar


Nomanfiy butun sonlar to’plamini nazariy talqin etishning turli xil yo’llari mavjud.
1) Nomanfiy butun sonlar to’plamini aksiomatik nuqtai nazaridan qurish.
Bunday talqinda nomanfiy butun sonlar to’plamining aksiomatik ta’rifi berilib, bu to’plam elementlari ustida qo’shish va ko’paytirish amallarining ham aksiomatik ta’rifi kiritiladi. Ayirish va bo’lishlar qo’shish hamda ko’paytirish amallariga teskari amal sifatida talqin etiladi. to’plamning xossalari yoritiladi.
2) Natural sonlar va ular ustida amallarni miqdorlar (kesmalarni) o’lchash sifatida talqin qilish.
Bu talqinda natural sonlar tushunchasi biror bir miqdor (kesma) ning o’lchov natijasi asosida o’rganiladi. Natural sonlar ustida amallarni o’rganish ham kesmalar ustida bajariladigan amallar bilan bog’lanadi.
3) Z_o ni to’plamlar nazariyasi asosida qurish. Nomanfiy butun sonlar to’plami qandaydir to’plamlardagi elementlar sonini xarakterlovchi to’plam sifatida ta’riflanishi mumkin. Boshlangich matematika kursi asosan mana shu yondoshish asosida quriladi. Shu sababli nomanfiy butun sonlar va ular ustida bajariladigan amallar to’plamlar nazariyasi bilan uzviy bog’liq holda o’rganiladi.


Nomanfiy butun sonlar yigindisi va ko’paytmasi.

Ta’rif: a va в natural sonlarning yig’indisi deb, Zo natural sonlar to’plamida ta’riflangan shunday algebraik amal natijasiga aytiladiki, bu amal quyidagi aksiomalarni qanoatlantirsa:
V: -Nomanfiy butun a son uchun a+0=a (0- Zo da qo’shishga nisbatan neytral element)
VI: Ixtiyoriy a, в nomanfiy butun sonlar uchun a+в`=(a+в)`
Misol: a=5, в=2 bo’lsin. 6-aksioma to’g’riligini tekshiramiz.
а+в`=5+3=8 , (a+в)`=(5+2)=8
1-teorema: Natural sonlarni qo’shish amali mavjud va u amal yagonadir.
Istalgan natural sonlarni doim qo’shish mumkin.
Z₀ da qo’shishning xossalari:
1-xossa: Manfiy bo’lmagan butun sonlar to’plami nolni yutish xossasiga ega.
(а) [0+a=a]
2-xossa: Manfiy bo’lmagan butun sonlarni qo’shish amali o'rin almashtirish
(kommutativlik) xossasiga ega. Ya'ni (а,в) [ а+в=в+а]
Misol: 51+49=49+51=100
3- xossa: Nomanfiy butun sonlarni qo’shish amali guruhlash (assotsiativlik) xossasiga ega, ya'ni (а, в, с Z₀ ) [(а+в)+с=а+(в+с)]
Ta’rif: a va в natural sonlarning ko’paytmasi deb , shunday algebraik amal natijasiga aytiladiki, u quyidagi aksiomalarni qanoatlantirsa:
VII: (аZ₀) a0=0
VIII: (а, вZ₀) ав`=ав+а
2-teorema. Natural sonlarni ko’paytirish amali mavjud va u yagona.
Yuqoridagi ta’rif va teoremalardan ko’paytirish amalining qator xossalari kelib chiqadi.
1⁰. 1·a=a . Har qanday sonni birga ko’paytirsak, shu sonning o’zi hosil bo’ladi.
2⁰. Ko’paytirish amali kommutativlik xossasiga ega: (а, вZ₀) а·в=в·a.
Misol: 2·3=3·2
3⁰. Ko’paytirish amali assotsiativlik (guruhlash)xossasiga ega.
(а, в, с  N₀)[(ав)с=а(вс)]
4⁰. Nomanfiy natural sonlarni ko’paytirish amali qo’shishga nisbatan tarqatish xossasiga ega. a· (в+с)= a·в+ a·с .
Misol: 2·17=2∙(10+7)=2·10+2·7= 20+14=34
( а,в,с Z₀) [а (в+c)=ав+ас]. Bu xossaning isbotini keltiraylik.
Isbot: a,в- ixtiyoriy natural sonlar. M-to’plam shunday natural sonlar to’plamiki, bu to’plam elementlari uchun teorema o’rinli bo’lsin. Agar с=0 bo’lsa,

1. 
   а(в+0)=ав. aв+а0=ав+0=ав 0М.
   
2. 
   сМ uchun: а(в+с)= ав+ас bo’lsin.
   
3. 
   а (в+с`)=а(в+с)`=а(в+с)+а=ав+ас+а= ав+ас c`М.
   

Demak, IV aksiomaga asosan M~Z₀ bo’ladi.