1. Nomanfiy butun sonlar haqida O’nlik sanoq sistemasida amallar

Nomanfiy butun sonlar.
Natural son va nol tushunchasini vujudga kelishi haqida qisqacha tarixiy ma'lumot. Nomanfiy butun sonlar to’plamini tuzishdagi har xil yondoshishlar.
Nomanfiy butun sonlar to’plamini to’plamlar nazariyasi asosida ko’rish. Natural son va nol tushunchasi. Nomanfiy butun sonlar to’plamiga "teng", "kichik" va "katta" munosabatlari. Yig’indining ta'rifi, uning mavjudligi. Qo’shish qonunlari. Ayirmaning ta'rifi, uning mavjudligi va yagonaligi. Yig’indidan sonni va sondan yig’indini ayirish qoidasining to’plamlar nazariyasi bo’yicha ma'nosi.


Nomanfiy butun sonlar to’plamining tartiblanganligi

Ta’rif: Agar a va в natural sonlari uchun, shunday noldan farqli k soni mavjud bo’lsaki, a=в+k tenglik bajarilsa u holda a son в sondan katta, yoki в son a sondan kichik deb aytiladi, va u a>в yoki в

munosabat o’rinli bo’ladi.
Ikkita ketma-ket keluvchi natural sonlar uchun quyidagi teorema o’rinli:
1-teorema: Har qanday natural son o’zidan oldin keluvchi natural sondan katta bo’ladi, ya’ni
Haqiqatdan ham: а’=а+1 х’=х+1 (natijaga asosan) а’>а х’>х (ta’rifga asosan).
1-xossa: Manfiy bo’lmagan butun sonlar to’plamida quyidagi munosabat o’rinli:
0<1<2<3<4<5…1<…
2-xossa: 0 soni Zo da eng kichik sondir.
3-xossa: Agar M qandaydir natural sonlar to’plami bo’lib, unda shunday в element topilsaki, uchun x<в o’rinli bo’lsa, u holda M da eng katta element в bo’ladi.
2-teorema: Natural sonlar qatorida quyidagi munosabatlardan faqat va faqat bittasi bajariladi.
a) а=в
b) a=b+k (a>b)
v) в=а+м (а<в)

Zo da tartib munosabati tranzitivlik xossasiga ega:

(а,в,с Z_о) а<в в<с а<с
3-teorema :
1) а=в => а+c=в+c ^ а c= в.c ( а,в,c )
2) а>в => а+c>в+c ^ аc>вc ( а,в,c )
3) а<в=> а+c<в+c ^ а  c<вc ( а,в,c )
4-teorema (Teskari teorema )
1) а+c=в+c аc=вc => а=в
2) а+с>в+c аcвc=> а>в
3) а+с< в+c аc<вc=> а<в
5-teorema : Natural sonlar qatorida n va n+1 natural sonlari yonma-yon turuvchi sonlardir, ya’ni n6-teorema: Har qanday manfiy bo’lmagan butun son noldan kichik emas, 0- nomanfiy butun sonlar to’plamining eng kichik elementidir.
Bu teoremadan, Z₀ ning quyidan chegaralanganligi kelib chiqadi.
7-teorema. Natural sonlar to’plamida Arximed aksiomasi o’rinli, ya’ni: a va b sonlar uchun nN topiladiki, вn>a bajariladi.
Ushbu teoremadan natural sonlar to’plamining cheksizligi kelib chiqadi.
Shunday qilib, xulosa qilsak, manfiy bo’lmagan butun sonlar to’plami: cheksiz; quyidan chegaralangan (0 soni bilan); yuqoridan chegaralanmagan, diskret; tartiblangan to’plam ekan.