1. Sanlı izbe-izlik dep natural sanlar toplaminda anıqlanǵan hám haqıyqıy bahalar qabıl etiwshi



Yüklə 197,33 Kb.
səhifə16/17
tarix05.12.2023
ölçüsü197,33 Kb.
#174175
1   ...   9   10   11   12   13   14   15   16   17
1. Sanl izbe-izlik dep natural sanlar toplaminda an qlan an h m

Q.E.D.


Berilgan E to'plamning barcha limit nuqtalari to'plami hosilaviy to'plam deyiladi va E simvoli orqali belgilanadi.
Shunga e'tibor qaratayliki, E to'plamning limit nuqtalari E to'plamga tegishli bo'lishi ham, tegishli bo'lmasligi ham mumkin. Masalan, agar E = (0, 1) bo'lsa, E = [0, 1] bo'ladi. Demak, (0, 1) intervalning barcha nuqtalari limit nuqtalar bo'lib, ular E ga tegishlidir; ikki chegaraviy 0 va 1 nuqtalar esa, limit nuqta bo'lishiga qaramasdan, E ga tegishli emas.

Bu misolda E to'plamning barcha nuqtalari limit nuqtalar bo'lib chiqdi. Lekin


1


doim ham bunday bo'lavermaydi. Masalan, agar m natural son bo'lsa, barcha

m


ko'rinishdagi sonlardan tashkil topgan E to'plam yagona a = 0 limit nuqtaga ega va bu nuqta E to'plamga tegishli emas. Ushbu to'plamning xech bir nuqtasi limit nuqta bo'lmaydi, chunki bu nuqtalarning har biri shunday atrofga egaki, unda E to'plamning bu nuqtadan boshqa elementi yoq.
Berilgan E to'plamning limit nuqtasi bo'lmagan elementlari yakkalangan nuqtalar deyiladi. Binobarin, oxirgi o'rganilgan misolda E to'plamning barcha nuqtalari yakkalangan ekan.
Ta'rif. Barcha limit nuqtalari o'ziga tegishli bo'lgan to'plam yopiq to'plam deyiladi.


Shunday qilib, agar E E bo'lsa, E yopiq bo'lar ekan. Limit nuqtalar to'plami
E doimo yopiq bo'lishini ko'rsatish oson.


E E to'plam E to'plamning yopilmasi deyiladi va E simvol orqali belgilanadi. E to'plam E ni o'z ichiga olgan eng kichik yopiq to'plam ekanini ko'rsatish qiyin emas.

  1. Zamonaviy matematik tahlilda muhim o'rin tutgan yana bir tushunchani kiritamiz.


⊂ ∈
Ta'rif. Agar E R to'plamga tegishli bo'lgan har qanday xn E nuqtalar
ketma-ketligidan yaqinlashuvchi hamda limiti ham E ga tegishli bo'lgan qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin bo'lsa, bu to'plam kompakt to'plam deyiladi.
Navbatdagi teorema haqiqiy sonlarning kompakt to'plamlari tavsifini beradi.


2.7.1 - Teorema. Berilgan E R to'plam kompakt bo'lishi uchun uning yopiq va chegaralangan bo'lishi zarur va yetarli.
Isbot. 1) Zarurligi. Faraz qilaylik, E to'plam kompakt bo'lsin. Uning yopiq va
chegaralangan ekanini isbotlaymiz.

∈ → ∈
Aytaylik, a nuqta E to'plamning ixtiyoriy limit nuqtasi bo'lsin. U holda, 2.7.1 - Tasdiqning (i)-(iii) shartlarini qanoatlantiruvchi {xn} ketma-ketlik mavjud bo'ladi, ya'ni xn E bo'lib, xn a bo'ladi. Bundan, kompakt to'plam ta'rifiga ko'ra, a E kelib chiqadi. Demak, E to'plam o'zining barcha limit nuqtalarini o'z ichiga olar ekan. Bu esa, ta'rifga ko'ra, E ning yopiq to'plam ekanini anglatadi.


Endi E chegaralanmagan to'plam deb faraz qilaylik. U holda xn E bo'lgan cheksiz katta ketma-ketlik mavjud bo'lib, ravshanki, bu ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratib bo'lmaydi. Bu esa E to'plamning kompaktligiga ziddir.
Demak, E chegaralangan to'plam ekan.
2) Yetarliligi. Endi E yopiq va chegaralangan bo'lsin. Uning kompakt bo'lishini isbotlaymiz.



{ }
E to'plam nuqtalaridan tuzilgan ixtiyoriy xn ketma-ketlikni olaylik. Bu ketma- ketlik chegaralanganligi uchun, Bol'sano-Veyershtrass (2.4.2 - Teorema) teoremasiga asosan, undan biror a soniga yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin. Endi a E ekanini ko'rsatish yetarli.
Ikki holni qaraymiz.
) {xn} ketma-ketlik aqalli bitta a ga teng bo'lgan elementga ega. Bu holda barcha xn E bo'lgani sababli, a E bo'ladi.
B) {xn} ketma-ketlikning barcha elementlari a dan farqli. Bu holda a nuqta E
to'plamning limit nuqtasi bo'ladi va, E yopiq bo'lgani sababli, yana a E bo'ladi.
Shunday qilib, har ikkala holda ham a E ekan. Q.E.D.
Quyidagi uchta to'plam kompakt to'plamga misol bo'ladi:
1) Chekli sondagi elementga ega bo'lgan to'plam. Bu to'plam chegaralangan va birorta ham limit nuqtaga ega emas va, shuning uchun, u yopiq (bu to'plamning barcha nuqtalari yakkalangan);

2) 0, 1, 1 ,

Yüklə 197,33 Kb.

Dostları ilə paylaş:
1   ...   9   10   11   12   13   14   15   16   17




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin