1-variant To‘plam tushunchasi

1-variant

1. 
   To‘plam tushunchasi – matematikaning asosiy tushunchalaridan biri bo‘lib, u ta’riflanmaydigan, faqat misollardagina tushuntiriladigan tushunchadir. Masalan, auditoriyadagi talabalar to‘plami, to‘g‘ri chiziqdagi nuqtalar to‘plami, kitobning ma’lum betidagi nuqtalar to‘plami, kitobning ma’lum betidagi harflar to‘plami, O‘zbekistondagi viloyatlar to‘plami, Quyosh sistemasidagi planetalar to‘plami, biror aylanada yotuvchi nuqtalar to‘plami va hokazo.
   

To‘plamni tashkil qiluvchi obyektlar uning elementlari deyiladi. To‘plamlarni A, a, a, A yoki A  harflari bilan belgilaymiz. To’plam bir qancha elementlardan iborat bo’lishi mumkin, quyidagi yozuv:

aA                      (1)

a elementni A to’plamga tegishliligini bildiradi.

a A                      (2)

a elementni A to’plamga tegishli emasligini bildiradi, yoki mantiq belgisidan foydalangan holda  ko’rinishda yozishimiz mumkin. Agar  aA  bo’lsa, u holda a element A to’plamga tegishli deyiladi[1].

          Hajmlilik aksiomasiga ko’ra to’plam elementlarini quyidagicha belgilashimiz ham mumkin,

,                    (3)

bunda, A to’plam tarkibida 1 soni va a,t,x  harfiy belgilar kiradi.[2]

         To’liqlik Aksiomasiga ko’ra to’plam elementlari soni uning tarkibiga kiruvchi elementlar bilan aniqlanib ularning qanday tartiblanganiga bog’liq emas.

(3) A to’plam   to’plam bilan ham va  to’plam bilan ham bir xildir[3].

To’plamlar asosan ikki xil usulda beriladi:

 1)  elementlarining ro’yxati bilan; 

 2) elementlarining xarakteristik xossasi bilan

Masalan, A={qizil; sariq; yashil}- ro’yxati,

               A={svetofor ranglari to’plami}- xarakteristik xossasi.

Elementarlarining soniga ko‘ra to‘plamlar 3 turli bo‘ladi: chekli to‘plamlar;  cheksiz to‘plamlar va bo’sh to’plamlar.

Masalan, auditoriyadagi talabalar to‘plami-chekli to‘plam, barcha natural sonlar (1, 2, 3, ...) to‘plami esa cheksiz to‘plam.

Matematikada ko‘pincha sonli to‘plamlar, ya’ni elementlari sonlardan iborat bo‘lgan to‘plamlar ishlatiladi. Maktab matematika kursidan bilamizki, ular ma’lum belgilar bilan belgilanadi: N – barcha natural sonlar to‘plami; Z – barcha butun sonlar to‘plami; Q – barcha ratsional sonlar to‘plami; R – barcha haqiqiy sonlar to‘plami C – barcha kompleks sonlar to‘plami.

2. 
   Ketma-ketlik va uning limiti
   Agar har bir natural songa biror qonun-qoida asosida ma’lum bir haqiqiy son mos qo’yilgan bo’lsa, unda , , ,…, ,… sonli ketma-ketlik deb ataladi. Bunda sonli ketma-ketlikning hadlari, esa umumiy hadi deyiladi.
   

Masalan,

1) umumiy hadi

2) umumiy hadi

3)

4) umumiy hadi .

, , ,…, ,… sonli ketma-ketlik qisqacha kabi belgilanadi.

Sonli ketma-ketlik bir necha usullarda berilishi mumkin.

1. Ketma-ketlik umumiy hadi formulasi bilan berilishi mumkin. Bunda hadining qiymatini shu hadning tartib nomeri bilan bog’lovchi formula beriladi. Umumiy had formulasi yordamida istalgan hadni topish mumkin. Bunga misol sifatida ni olish mumkin.

2. Ketma-ketlik o’z hadining tartib nomeri bilan shu hadning qiymati orasidagi moslikni sonlar orqali ifodalash yordamida berilishi mumkin. Masalan, har bir toq natural songa 3 ni, har bir juft natural songa esa 5 ni mos keltiramiz: Natijada ketma-ketlikka ega bo’lamiz. Uning umumiy hadini ko’rinishda yozish mumkin.

3. Ketma-ketlik rekurrent formula yordamida berilishi mumkin. Agar ketma-ketlikning dastlabki bitta yoki bir nechta hadlari berilgan bo’lib, keyingi hadlarni shu berilgan hadlar yordamida topish imkonini beruvchi formula (rekurrent formula) ko’rsatilgan bo’lsa, ketma-ketlik rekurrent usulda berilgan deyiladi. Masalan, bo’lsa, ketma-ketlikning hadlarini topishimiz mumkin.

4. Ketma-ketlik jadval yoki grafik usulda ham berilishi mumkin.

5. Sonlar ketma-ketligi so’z ifodasi bilan ham beriladi. Ketma-ketlik bu usulda berilganda, istalgan nomerga mos kelgan hadni topish qoidasi so’z bilan ifodlangan bo’ladi. Masalan, ning 0.1; 0.01; 0.001 va hokazo aniqlikda kami bilan olingan taqribiy qiymatlaridan tuzilgan ketma-ketlik 1.4; 1.41; 1. 414; …dan iborat.

Agar shunday soni mavjud bo’lsaki, ketma-ketlikning barcha hadlari uchun shart bajarilsa, unda bu ketma-ketlik yuqoridan (quyidan) chegaralangan deyiladi.

Ham yuqoridan, ham quyidan chegaralangan ketma-ketlik chegaralangan ketma-ketlik deb ataladi.

Ixtiyoriy soni uchun ketma-ketlikning kamida bitta hadi tengsizlikni qanoatlantirsa, bu ketma-ketlik chegaralanmagan deyiladi.

Hamma hadlari bir xil songa teng bo’lgan ketma-ketlik o’zgarmas ketma-ketlik deyiladi.

3. 
   Mаtеmаtik аnаlizning ko’p mаsаlаlаrini yеchishdа qo’shiluvchilаr sоni chеkli yoki chеksiz bo’lgаn yig’indilаr bilаn ish ko’rishgа to’g’ri kеlаdi.
   

Bu chеksiz qo’shiluvchilаr hаqiqiy sоnlаrdаn tаshqаri funksiyalаrdаn yoki vеktоrlаrdаn yoki mаtrisаlаrdаn (yoki mа’lum bir chеkli yoki chеksiz оb’еktlаrdаn) ibоrаt bo’lgаn hоllаrdа ulаrning yig’indisini tоpish аnchа murаkkаb bo’lаdi. Bu hоllаrdа qo’yilgаn mаsаlаlаrni yеchishdа quyidа biz o’rgаnаdigаn qаtоrlаr nаzаriyasi kаttа аhаmiyatgа egа.