10 – laboratoriya ishi fizik mayatnik yordamida og’irlik kuchi tezlanishni aniqlash kerakli asbob va materiallar

10 – laboratoriya ishi fizik mayatnik yordamida og’irlik kuchi tezlanishni aniqlash kerakli asbob va materiallar

10 – LABORATORIYA ISHI
FIZIK MAYATNIK YORDAMIDA OG’IRLIK KUCHI TEZLANISHNI ANIQLASH
Kerakli asbob va materiallar: 1)Qurilma, 2) Sekundomer.
Qisqacha nazariya
Og‘irlik markazidan o‘tmaydigan qo‘zg‘almas gorizontal o‘q atrofida aylanma yoki tebranma harakat qila oladigan har qanday qattiq jism yoki jismlar sistemasi fizik mayatnik deb ataladi. Aylanish o‘qini mayatnikning massalar markazi C dan o‘tuvchi vertikal tekislik bilan kesishuvchi 0 nuqtasiga mayatnikning osilishi nuqtasi deyiladi. Agar fizik mayatnik muvozanat holatidan  burchakka og‘dirilsa, u (1-rasm asosan)
M = - mg·b·sin (1)
og‘irlik kuchining tashkil etuvchisining momenti ta’sirida o‘zining avvalgi holatiga qaytishga intiladi. Energiyaning saqlanish qonuniga asosan jism muvozanat vaziyatidan o‘tgach, avval qanday burchakka og‘dirilgan bo‘lsa, deyarli shunday burchakka og‘adi. Ishqalanish kuchlari bo‘lmaganda, bunday harakat takrorlanaverardi, ya’ni u davriy tebranma harakat qiladi. Fizik mayatnik kichik burchaklarga og‘ib tebranganda uning tebranishlari garmonik bo‘ladi. Quyida haqiqatdan ham shunday bo‘lishini ko‘rib сhiqamiz.
Aylanma harakat dinamikasining asosiy qonuni
(2)
ni fizik mayatnik uchun (1) ni e’tiborga olgan holda quyidagi ko‘rinishda yozib olamiz:

(3)
Bu ifodalarda  - mayatnik harakatining burchak tezlanishi, I – uning aylanish o‘qiga nisbatan inertsiya momenti, b - massalar markazidan osilish nuqtasigacha bo‘lgan masofa, manfiy ishora esa kuch momenti bilan siljishning yo‘nalishi doimo bir-biriga qarama-qarshi ekanligini bildiradi.

Maksimal og‘ish burchagi yetarlicha kichik bo‘lganda sin   munosabat o‘rinli bo‘ladi. U holda fizik mayatnikning kichik tebranishlari uchun (3) ifoda quyidagi ko‘rinishga keladi:
(4)
Bu differensial tenglama tebranishning doiraviy (siklik) chastotasi
(5)
bo‘lgan harakatni ifodalaydi va uning yechimi:

1-rasm
 = _osin(t+_o) (6)

ko‘rinishda bo‘ladi. (6) dagi ₀- amplitudaviy og‘ish burchagi, _o esa boshlang‘ich faza.
Shunday qilib, (4) tenglamaning yechimi fizik mayatnikning kichik tebranishlarida uning harakati sinus (yoki kosinus) qonuniyati bo‘yicha ro‘y berishini ko‘rsatadi. Bunday tebranishlar esa garmonik tebranishlar deb ataladi. Siklik chastota bilan tebranishlar davri orasidagi bog‘lanish

(7)
ekanligini hisobga olsak, (5) dan fizik mayatnikning tebranish davri uchun quyidagi ifodani hosli qilamiz:

(8)
Ildiz ostiga kirgan I/mb ifodaning o‘lchamligi uzunlik o‘lchamlik bilan bir xildir. Shuning uchun uni biror l₀ uzunlik bilan almashtirish mumkin. U holda (8) ni quyidagicha yozish mumkin, ya’ni
(9)
Ko‘rinib turibdiki, bu ifoda matematik mayatnik tebranish davri ifodasining xuddi o‘zidir. Shuning uchun bu yerda l₀ ni fizik mayatnikning keltirilgan uzunligi deyiladi. (9) ifodadan fizik mayatnikning keltirilgan uzunligi son qiymati jihatidan tebranish davri berilgan fizik mayatnikning tebranish davriga teng bo‘lgan matematik mayatnikning uzunligiga teng ekanligi kelib chiqadi.
Fizik mayatnikning osilish nuqtasidan OC to‘g‘ri chiziq bo‘yicha uzunligi uning keltirilgan uzunligi l₀ ga teng bo‘lgan OO` kesma ajratamiz. O` nuqta fizik mayatnikning tebranish markazi deb ataladi. Tebranish markazining ajoyib xususiyati shundan iboratki, agar uni O` nuqtasidan osib qo‘yilsa, u holda uning tebranish davri o‘zgarmaydi va avvalgi O osilish nuqtasi yangi tebranish markazi bo‘lib qoladi. Bu qonun Gyugens teoremasi deb ataladi. Bu teoremani isbot qilish uchun OC kesmaning uzunligini b deb belgilaymiz va avval 0 nuqtadan, keyin esa O` nuqtadan osilgan deb faraz qilamiz. U holda uning keltirilgan uzunligi mos ravishda

va (10)
bo‘ladi. Gyugens – Shteyner teoremasiga asosan:

I= I_o+ mb² (11)
va (11’)
Bu yerda I₀ – mayatnikning massalari markazidan o‘tuvchi parallel o‘qqa nisbatan inertsiya momenti. Bularni e’tiborga olgan holda l₀ va l₀` ni quyidagi ko‘rinishda yozamiz:
(12)
(13)
8-rasmdan ko‘rinib turibdiki l₀=b+b^'. Agar bu ifodani (12) bilan taqqoslasak:
(14)
bo‘ladi. Bu qiymatni (13) formulaga qo‘yib:

tenglikni hosil qilamiz. Shunday qilib l₀ = ekan. Bu esa Gyugens teoremasini isbotidir.

Endi fizik mayatnikning osilish nuqtasini massalar markazidan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq bo‘ylab ko‘chirgan holda uning tebranish davri qanday o‘zgarishini ko‘rib chiqamiz. (9) ifodadan ko‘rinib turibdiki, mayatnikning tebranish davri uning keltirilgan uzunligi orqali bir qiymatli aniqlanadi. Shuning uchun b o‘rniga l₀ dan foydalanish mumkin. Umumiy holda l₀ ning b ga bog‘lanishi (12) ifoda bilan aniqlanadi. Bu ifodadan ko‘rinib turibdiki osilish nuqtasini og‘irlik markazidan cheksiz uzoqlashganda (b) hamda unga yaqinlshganda (b0) mayatnikning keltirilgan uzunligini va tebranish davri cheksizlikka intiladi. Osilish nuqtasi og‘irlik markazidan boshqa tomondan olinganda ham xuddi shu hol ro‘y beradi.
Abssissa o‘qiga b kattalikni, ordinata o‘qiga l₀ yoki T ning kvadratini qo‘ysak, 9-rasmda tasvirlangan egri chiziqni hosil qiladi. Grafikdan ko‘rinadiki, keltirilgan uzunlikning har qanday qiymatiga to‘rtta osilish nuqtasi mos keladi. Bundan l₀ ning minimumga mos kelgan qiymati mustasno. Haqiqatan ham, agar biz egri chiziqning analitik ko‘rinishni (12) ni quyidagi ko‘rinishda yozib:

2-rasm
(15)

b ga nisbatan yechsak, bunga ishonch hosil qilamiz:
(16)
(13) tenglmasidan b₁ va b₂ lar uchun ham yuqoridagi kabi qiymatlarni topamiz.
(16)
Agar l₀=l₀^' ekanligini e’tiborga olsak, b₁ = va l₀=b₁+b₂= + ekanligi kelib chiqadi. Ma’lumki (15) tenglama faqat
(17)
munosabat o‘rinli bo‘lgandagina haqiqiy yechimga ega bo‘ladi. Bundan minimal keltirilgan uzunlik
(18)
ekanligi kelib chiqadi.