101-gurux talabasi Xursanmurodov Jamshidbekning Elementar matematika fanidan

---

 
101-gurux talabasi Xursanmurodov 
Jamshidbekning 
Elementar matematika fanidan 
tayyorlagan 
Mustaqil ta’lim topshirig’i. 
 
 
 
Mavzu:
Ko’rsatkichli va logarifmik 
tengsizliklar sistemasi. 
 

---

Ko'rsatkichli tengsizliklar sistemalari. 
Ta'rif: 
Ko'rsatkichli tenglamalardan tashkil topgan tengsizliklar sistemalari ko'rsatkichli tengsizliklar tizimi 
deyiladi. 
Ko‘rsatkichli tengsizliklar sistemalarining yechimini misollar yordamida ko‘rib chiqamiz. 
3-misol 
Tengsizliklar sistemasini yeching 
8-rasm 
Yechim: 
Bu tengsizliklar tizimi sistemaga ekvivalentdir 

---

9-rasm 
Birinchi tengsizlikni yechish uchun eksponensial tengsizliklar uchun quyidagi ekvivalentlik teoremasini 
eslang: 
Teorema 1.$a^(f(x)) >a^(\varphi (x)) $ tengsizligi, bunda $a >0,a\ne 1$ ikkita tizim toʻplamiga 
ekvivalentdir. 
\U 
Bu erda $b$ ning roli oddiy raqam yoki undan ham qattiqroq bo'lishi mumkin. Misollar? Ha iltimos: 
\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ to'rtlik ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 
16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(x))). \\\end(tekislash)\] 
Menimcha, ma'no aniq: $((a)^(x))$ eksponensial funksiyasi bor, u biror narsa bilan taqqoslanadi va keyin 
$x$ topishni so'raydi. Ayniqsa klinik holatlarda, $x$ o'zgaruvchisi o'rniga, ular $f\left(x \right)$ 
funktsiyasini qo'yishi va shu bilan tengsizlikni biroz murakkablashtirishi mumkin. :) 
Albatta, ba'zi hollarda tengsizlik yanada jiddiyroq ko'rinishi mumkin. Misol uchun: 
\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\] 
Yoki bu ham: 
Umuman olganda, bunday tengsizliklarning murakkabligi juda xilma-xil bo'lishi mumkin, ammo ular 
baribir oddiy konstruktsiyaga tushadilar $((a)^(x)) \gt b$. Va biz qandaydir tarzda bunday dizayn bilan 
shug'ullanamiz (ayniqsa, klinik holatlarda, hech narsa xayolga kelmasa, logarifmlar bizga yordam beradi). 
Shuning uchun, endi biz bunday oddiy konstruktsiyalarni qanday hal qilishni o'rganamiz. 
Eng oddiy ko'rsatkichli tengsizliklarni yechish 
Keling, juda oddiy narsani ko'rib chiqaylik. Masalan, bu erda: 
\[((2)^(x)) \gt 4\] 
Shubhasiz, o'ngdagi raqam ikkining kuchi sifatida qayta yozilishi mumkin: $4=((2)^(2))$. Shunday qilib, 
asl tengsizlik juda qulay shaklda qayta yoziladi: 
\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\] 
Va endi qo'llar $x \gt 2$ javobini olish uchun darajalar tagida turgan ikkiliklarni "chizib tashlash" uchun 
qichishadi. Ammo biror narsani chizishdan oldin, keling, ikkita kuchni eslaylik: 
\[((2)^(1))=2;\to'rt ((2)^(2))=4;\to'rt ((2)^(3))=8;\to'rt ((2)^( 4))=16;...\] 
Ko'rib turganingizdek, ko'rsatkichdagi raqam qanchalik katta bo'lsa, chiqish soni shunchalik katta bo'ladi. 
— Rahmat, kap! - deb baqiradi o'quvchilardan biri. Bu boshqacha sodir bo'ladimi? Afsuski, bu sodir 
bo'ladi. Misol uchun: 
\[((\left(\frac(1)(2) 
\o'ng))^(1))=\frac(1)(2);\quad 
((\left(\frac(1)(2) 
\ 
o'ng))^(2))=\frac(1)(4);\to'rt 
((\left(\frac(1)(2) \o'ng))^(3))=\frac(1)(8) );...\] 
Bu erda ham hamma narsa mantiqiy: daraja qanchalik katta bo'lsa, 0,5 soni o'z-o'zidan ko'paytiriladi 
(ya'ni yarmiga bo'linadi). Shunday qilib, natijada raqamlar ketma-ketligi kamayadi va birinchi va ikkinchi 
ketma-ketliklar orasidagi farq faqat bazada bo'ladi: 

Agar daraja asosi $a \gt 1$ bo'lsa, u holda $n$ ko'rsatkichi o'sishi bilan $((a)^(n))$ soni ham o'sadi; 

Aksincha, agar $0 \lt a \lt 1$ boʻlsa, $n$ koʻrsatkichi oʻsishi bilan $((a)^(n))$ soni kamayadi. 
Ushbu faktlarni umumlashtirib, biz eksponensial tengsizliklarning butun yechimiga asoslangan eng 
muhim bayonotni olamiz: 
Agar $a \gt 1$ bo'lsa, $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ tengsizlik $x \gt n$ tengsizligiga ekvivalent bo'ladi. Agar 
$0 \lt a \lt 1$ bo'lsa, $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ tengsizlik $x \lt n$ tengsizligiga ekvivalent bo'ladi. 
Boshqacha qilib aytganda, agar baza birdan katta bo'lsa, uni oddiygina olib tashlashingiz mumkin - 
tengsizlik belgisi o'zgarmaydi. Va agar baza birdan kam bo'lsa, u ham olib tashlanishi mumkin, ammo 
tengsizlik belgisini ham o'zgartirish kerak bo'ladi. 
E'tibor bering, biz $a=1$ va $a\le 0$ variantlarini ko'rib chiqmadik. Chunki bu holatlarda noaniqlik 
mavjud. $((1)^(x)) \gt 3$ ko‘rinishdagi tengsizlik qanday yechilsin deylik? Har qanday kuchga bitta yana 
bittani beradi - biz hech qachon uch yoki undan ko'pini olmaymiz. Bular. yechimlar yo'q. 
Salbiy asoslar bilan bu yanada qiziqarli. Masalan, quyidagi tengsizlikni ko'rib chiqing: 
\[((\left(-2 \o'ng))^(x)) \gt 4\] 
Bir qarashda hamma narsa oddiy: 
To'g'rimi? Lekin yoq! Yechim noto‘g‘ri ekanligiga ishonch hosil qilish uchun $x$ o‘rniga bir juft juft va 
bir nechta toq sonlarni qo‘yish kifoya. Qarab qo'ymoq: 
\[\begin(align) & x=4\O'ng strelka ((\left(-2 \o'ng))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\O'ng strelka ((\chap(-2 
\o'ng))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\O'ng strelka ((\chap(-2 \o'ng))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\O'ng strelka 
((\chap(-2 \o'ng))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(hizalang)\] 

---

Ko'rib turganingizdek, belgilar bir-birini almashtiradi. Lekin hali ham kasr darajalari va boshqa qalay bor. 
Misol uchun, $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (minus ikkitasi yettining ildiziga koʻtarilgan) hisoblashni 
qanday buyurasiz? Bo'lishi mumkin emas! 
Shuning uchun aniqlik uchun biz barcha eksponensial tengsizliklarda (aytmoqchi, tenglamalarda ham) 
$1\ne a \gt 0$ deb faraz qilamiz. Va keyin hamma narsa juda oddiy hal qilinadi: 
\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\O'ng strelka \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \o'ng), \\ & x \lt n\quad 
\chap (0 \lt a \lt 1 \o'ng). \\\end(tekislash) \o'ngga.\] 
Umuman olganda, yana bir bor asosiy qoidani eslang: agar eksponensial tenglamadagi asos birdan katta 
bo'lsa, uni oddiygina olib tashlashingiz mumkin; va agar asos birdan kichik bo'lsa, uni ham olib tashlash 
mumkin, lekin bu tengsizlik belgisini o'zgartiradi. 
Yechim misollari 
Shunday qilib, bir nechta oddiy eksponensial tengsizliklarni ko'rib chiqing: 
\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^((x)^(2))-7x+14)) \lt 
16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\end(tekislash)\] 
Birlamchi vazifa hamma hollarda bir xil: tengsizliklarni eng oddiy shaklga keltirish $((a)^(x)) \gt 
((a)^(n))$. Endi biz har bir tengsizlik bilan shunday qilamiz va shu bilan birga biz darajalar va 
eksponensial funktsiyaning xususiyatlarini takrorlaymiz. Shunday ekan, ketaylik! 
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\] 
Bu yerda nima qilish mumkin? Xo'sh, chap tomonda biz allaqachon namoyishkorona ifodaga egamiz - 
hech narsani o'zgartirish kerak emas. Ammo o'ng tomonda qandaydir axloqsizlik bor: kasr va hatto 
maxrajdagi ildiz! 
Biroq, kasrlar va kuchlar bilan ishlash qoidalarini unutmang: 
\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\end(tekislash)\] 
Bu nimani anglatadi? Birinchidan, kasrni manfiy ko'rsatkichga aylantirish orqali osonlikcha qutulish 
mumkin. Ikkinchidan, maxraj ildiz bo'lganligi sababli, uni darajaga aylantirsa yaxshi bo'lardi - bu safar 
kasr ko'rsatkichi bilan. 
Keling, ushbu amallarni tengsizlikning o'ng tomoniga ketma-ket qo'llaymiz va nima sodir bo'lishini 
ko'ramiz: 
\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) 
\right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac) 
1)(3))) 
\o'ng))^(-
1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \o'ng)=((2)^ (-\frac(1)(3)))\] 
Shuni unutmangki, darajani bir darajaga ko'tarishda bu darajalarning ko'rsatkichlari qo'shiladi. Va 
umuman olganda, eksponensial tenglamalar va tengsizliklar bilan ishlashda, hech bo'lmaganda, kuchlar 
bilan ishlashning eng oddiy qoidalarini bilish mutlaqo kerak: 
\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & 
((\left(((a)^(x)) \o'ng))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\end(tekislash)\] 
Aslida, biz oxirgi qoidani qo'lladik. Shunday qilib, bizning dastlabki tengsizligimiz quyidagicha qayta 
yoziladi: 
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\O'ng strelka ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\] 
Endi biz taglikdagi deucedan qutulamiz. 2 > 1 bo'lgani uchun tengsizlik belgisi bir xil bo'lib qoladi: 
\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-
\infty;\frac(2)(3) \o'ng]. \\\end(align)\] 
Bu butun yechim! Asosiy qiyinchilik umuman eksponensial funktsiyada emas, balki asl ifodani malakali 
o'zgartirishda: uni eng oddiy shaklga ehtiyotkorlik bilan va iloji boricha tezroq olib kelish kerak. 
Ikkinchi tengsizlikni ko'rib chiqing: 
\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\] 
Yaxshi yaxshi. Bu erda biz o'nli kasrlarni kutmoqdamiz. Ko'p marta aytganimdek, vakolatli har qanday 
iboralarda siz o'nli kasrlardan xalos bo'lishingiz kerak - ko'pincha bu tez va oson yechimni ko'rishning 
yagona yo'li. Mana nimadan qutulamiz: 
\[\begin(align) & 0,1=\frac(1)(10);\quad 0,01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ o'ng)))^(2)); \\ & 
((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\O'ng strelka ((\left(\frac(1)(10) \o'ng))^(1-x)) \lt ( (\ chap (\ frac (1) (10) \ o'ng)) ^ 
(2)). \\\end(tekislash)\] 
Bizning oldimizda yana eng oddiy tengsizlik va hatto 1/10 bazasi bilan, ya'ni. birdan kam. Xo'sh, biz 
tagliklarni olib tashlaymiz, bir vaqtning o'zida belgini "kamroq" dan "kattaroq" ga o'zgartiramiz va biz 
quyidagilarni olamiz: 
\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end (tekislash)\] 
Biz yakuniy javobni oldik: $x\in \left(-\infty;-1 \right)$. E'tibor bering, javob aniq to'plamdir va hech 
qanday holatda $x \lt -1$ shaklini qurish mumkin emas. Chunki formal ravishda bunday konstruksiya 

---

umuman to‘plam emas, balki $x$ o‘zgaruvchisiga nisbatan tengsizlikdir. Ha, bu juda oddiy, lekin bu 
javob emas! 
Muhim eslatma. Ushbu tengsizlikni boshqa yo'l bilan - ikkala qismni birdan kattaroq quvvatga 
kamaytirish orqali hal qilish mumkin. Qarab qo'ymoq: 
\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\O'ng 
strelka ((\chap(((10)^(-1)) 
\o'ng))^(1-x)) 
\ 
lt ((\left(((10)^(-1)) 
\o'ng))^(2))\O'ng strelka ((10)^(-1\cdot \left(1-x \o'ng)))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\] 
Bunday o'zgartirishdan so'ng, biz yana eksponensial tengsizlikka ega bo'lamiz, lekin asosi 10 > 1. Bu 
shuni anglatadiki, siz shunchaki o'ntalikni kesib tashlashingiz mumkin - tengsizlik belgisi o'zgarmaydi. 
Biz olamiz: 
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt-2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. 
\\\end(tekislash)\] 
Ko'rib turganingizdek, javob aynan bir xil. Shu bilan birga, biz o'zimizni belgini o'zgartirish zaruratidan 
xalos qildik va u erda ba'zi qoidalarni eslaymiz. :) 
\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\] 
Biroq, bu sizni qo'rqitishiga yo'l qo'ymang. Ko'rsatkichlarda nima bo'lishidan qat'i nazar, tengsizlikni hal 
qilish texnologiyasi bir xil bo'lib qoladi. Shuning uchun biz birinchi navbatda 16 = 2 4 ekanligini 
ta'kidlaymiz. Keling, ushbu faktni hisobga olgan holda dastlabki tengsizlikni qayta yozamiz: 
\[\begin(align) & ((2)^((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. 
\\\end(align)\] 
Xayr! Biz odatdagi kvadrat tengsizlikni oldik! Belgisi hech qanday joyda o'zgarmadi, chunki asos ikkilik 
- birdan katta raqam. 
Raqamlar qatoridagi funksiya nollari 
Biz $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ funksiyaning belgilarini joylashtiramiz - aniqki, uning grafigi 
shoxlari yuqoriga ko'tarilgan parabola bo'ladi, shuning uchun "plyuslar" bo'ladi. ” yon tomonlarida. Biz 
funktsiya noldan kichik bo'lgan mintaqaga qiziqamiz, ya'ni. $x\in \left(2;5 \right)$ asl masalaga javobdir. 
Va nihoyat, boshqa tengsizlikni ko'rib chiqing: 
\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\] 
Yana biz asosda o'nli kasrli eksponensial funktsiyani ko'ramiz. Keling, bu kasrni oddiy kasrga 
aylantiramiz: 
\[\begin(align) 
& 
0,2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow 
\\ 
& 
\Rightarrow 
((0) 
,2)^(1+((x)^(2))=((\left(((5)^(-1)) 
\oʻng))^(1+(x)^(2) 
)))=((5)^(-1\cdot 
\left(1+((x)^(2)) 
\o'ng)))\end(hizala)\] 
Bunday holda, biz ilgari aytilgan izohdan foydalandik - keyingi qarorimizni soddalashtirish uchun biz 
bazani 5\u003e 1 raqamiga qisqartirdik. Keling, o'ng tomon bilan ham xuddi shunday qilaylik: 
\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \o'ng))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ o'ng))^(2))=(5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\] 
Ikkala transformatsiyani ham hisobga olgan holda asl tengsizlikni qayta yozamiz: 
\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\O'ng strelka ((5)^(-1\cdot \chap(1+) ((x)^(2)) \o'ng)))\ge ((5)^(-2))\] 
Ikkala tomonning asoslari bir xil va birdan katta. O'ng va chap tomonda boshqa atamalar yo'q, shuning 
uchun biz faqat beshlikni "chizamiz" va biz juda oddiy iborani olamiz: 
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ 
& -((x)^(2))\ge -1;\to'rt \chap| \cdot \left(-1 \o'ng) \o'ng. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\] 
Bu erda siz ehtiyot bo'lishingiz kerak. Ko‘pgina talabalar tengsizlikning har ikki tomonining kvadrat 
ildizini olib, $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$ kabi yozishni yaxshi ko‘radilar. Siz buni hech 
qachon qilmasligingiz kerak, chunki aniq kvadratning ildizi moduldir va hech qanday holatda asl 
o'zgaruvchi emas: 
\[\sqrt(((x)^(2)))=\chap| x\right|\] 
Biroq, modullar bilan ishlash eng yoqimli tajriba emas, to'g'rimi? Shunday qilib, biz ishlamaymiz. Buning 
o'rniga, biz shunchaki barcha shartlarni chapga siljitamiz va odatdagi tengsizlikni intervalli usul 
yordamida hal qilamiz: 
$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \o'ng)\left(x+1 \o'ng)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\to'rt ((x)_(2)) 
=-1; \\\end(align)$ 
Yana, biz olingan nuqtalarni raqamlar chizig'ida belgilaymiz va belgilarga qaraymiz: 

---

Iltimos, diqqat qiling: nuqtalar soyali. 
Biz qat'iy bo'lmagan tengsizlikni hal qilganimiz sababli, grafikdagi barcha nuqtalar soyali. Shuning uchun 
javob quyidagicha bo'ladi: $x\in \left[ -1;1 \right]$ interval emas, balki segmentdir. 
Umuman olganda, shuni ta'kidlashni istardimki, eksponensial tengsizliklarda murakkab narsa yo'q. Bugun 
biz amalga oshirgan barcha o'zgarishlarning ma'nosi oddiy algoritmga tushadi: 

Biz barcha darajalarni kamaytiradigan bazani toping; 

$((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ko'rinishdagi tengsizlikni olish uchun o'zgartirishlarni ehtiyotkorlik bilan 
bajaring. Albatta, $x$ va $n$ oʻzgaruvchilari oʻrniga ancha murakkab funksiyalar boʻlishi mumkin, lekin 
bu maʼnoni oʻzgartirmaydi; 

Darajalar asoslarini kesib tashlang. Bunda tengsizlik belgisi o'zgarishi mumkin, agar asos $a \lt 1$ bo'lsa. 
Aslida, bu barcha tengsizliklarni yechish uchun universal algoritmdir. Va bu mavzu bo'yicha sizga 
aytiladigan barcha narsalar faqat o'zgartirishni soddalashtirish va tezlashtirish uchun o'ziga xos fokuslar 
va fokuslardir. Mana biz hozir gaplashadigan fokuslardan biri. :) 
ratsionalizatsiya usuli 
Boshqa tengsizliklar to'plamini ko'rib chiqing: 
\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi) \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & 
((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \o'ng))^(((x)^(2))+2x)) \gt 
((\left(\frac(1)(9) \o'ng))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \o'ng))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\] 
Xo'sh, ularda nimasi o'ziga xos? Ular, shuningdek, engil vaznga ega. Garchi, to'xtang! Pi quvvatga 
ko'tariladimi? Qanday bema'nilik? 
Va $2\sqrt(3)-3$ sonini qanday qilib kuchga oshirish mumkin? Yoki $3-2\sqrt(2)$mi? Muammolarni 
tuzuvchilar ishga o'tirishdan oldin juda ko'p "Do'lana" ichishgan. :) 
Aslida, bu vazifalarda hech qanday yomon narsa yo'q. Sizga eslatib o'taman: eksponensial funktsiya 
$((a)^(x))$ ko'rinishining ifodasidir, bunda $a$ asosi istalgan musbat sondir, bittadan tashqari. p soni 
ijobiy - biz buni allaqachon bilamiz. $2\sqrt(3)-3$ va $3-2\sqrt(2)$ raqamlari ham ijobiydir - agar ularni 
nol bilan solishtirsak, buni tushunish oson. 
Ma'lum bo'lishicha, bu "dahshatli" tengsizliklarning barchasi yuqorida muhokama qilingan oddiylardan 
farq qilmaydi? Va ular buni xuddi shunday qilishadimi? Ha, mutlaqo to'g'ri. Biroq, ularning misolidan 
foydalanib, men mustaqil ish va imtihonlarga ko'p vaqtni tejaydigan bitta hiyla-nayrangni ko'rib 
chiqmoqchiman. Biz ratsionalizatsiya usuli haqida gapiramiz. Shunday qilib, diqqat: 
$((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ko‘rinishdagi har qanday ko‘rsatkichli tengsizlik $\left(xn \right)\cdot \left(a-1 \) 
tengsizligiga ekvivalentdir. o'ng) \gt 0 $. 
Bu butun usul. :) Keyingi o'yin bo'ladi deb o'ylaganmidingiz? Bu kabi hech narsa! Ammo bir satrda tom 
ma'noda yozilgan bu oddiy fakt ishimizni ancha soddalashtiradi. Qarab qo'ymoq: 
\[\begin(matritsa) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^((x)^(2))-3x+2)) \\ 
\Pastga qarab \\ \chap(x+7-\chap(((x)^(2)) -3x+2 \o'ng) \o'ng)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 
0 \\\end(matritsa)\] 
Bu erda boshqa eksponensial funktsiyalar yo'q! Va belgi o'zgaradimi yoki yo'qligini eslab qolish shart 
emas. Ammo yangi muammo tug'iladi: \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\] lanatli multiplikator bilan 
nima qilish kerak? Pi ning aniq qiymati nima ekanligini bilmaymiz. Biroq, kapitan aniq bir narsaga ishora 
qilganga o'xshaydi: 
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\taxminan 3,14... \gt 3\O'ng strelka \text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 3-1=2\] 
Umuman olganda, p ning aniq qiymati bizni unchalik bezovta qilmaydi - bu biz uchun har qanday holatda 
ham $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 ekanligini tushunish muhimdir. $, t.e. musbat doimiy bo‘lib, 
tengsizlikning ikkala tomonini unga bo‘lishimiz mumkin: 
\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 
0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \o'ng) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad 
\chap| \cdot \left(-1 \o'ng) \o'ng. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \o'ng)\left(x+1 \o'ng) \lt 0. 
\\\end(hizala)\] 
Ko'rib turganingizdek, ma'lum bir nuqtada biz minus birga bo'lishimizga to'g'ri keldi va tengsizlik belgisi 
o'zgardi. Oxirida men kvadrat trinomialni Vyeta teoremasiga ko'ra kengaytirdim - ko'rinib turibdiki, 

---

ildizlar $((x)_(1))=5$ va $((x)_(2))=- ga teng. 1$. Keyin hamma narsa oraliqlarning klassik usuli bilan hal 
qilinadi: 
Tengsizlikni intervallar usuli bilan yechamiz 
Barcha nuqtalar teshiladi, chunki dastlabki tengsizlik qat'iydir. Bizni manfiy qiymatlari bo'lgan hudud 
qiziqtiradi, shuning uchun javob $x\in \left(-1;5 \right)$. Bu yechim. :) 
Keling, keyingi vazifaga o'tamiz: 
\[((\left(2\sqrt(3)-3 \o'ng))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\] 
Bu erda hamma narsa oddiy, chunki o'ng tomonda birlik mavjud. Va biz eslaymizki, birlik nol darajasiga 
ko'tarilgan har qanday raqamdir. Agar bu raqam irratsional ifoda bo'lsa ham, chap tomonda joylashgan: 
\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3\right))^(0)); \\ & 
((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3) \right)))^(0)); \\\end(tekislash)\] 
Shunday qilib, keling, ratsionalizatsiya qilaylik: 
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 
\right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \o'ng)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \o'ng) \lt 0. 
\\\end(align)\ ] 
Faqat belgilar bilan shug'ullanish qoladi. $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ koʻpaytuvchisi $x$ oʻzgaruvchisini oʻz 
ichiga olmaydi - bu shunchaki doimiy miqdor va biz uning belgisini aniqlashimiz kerak. Buning uchun 
quyidagilarga e'tibor bering: 
\[\begin(matritsa) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \pastga qarab \\ 2\chap(\sqrt(3)-2 \o'ng) \lt 2\cdot \left(2) -2 
\o'ng)=0 \\\end (matritsa)\] 
Ma’lum bo‘lishicha, ikkinchi omil shunchaki doimiy emas, balki manfiy konstantadir! Va unga 
bo'linganda, asl tengsizlikning belgisi teskarisiga o'zgaradi: 
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ 
& x\left(x-2 \o'ng) \gt 0. \\\end(hizala)\] 
Endi hamma narsa aniq bo'ladi. O'ng tarafdagi kvadrat trinomning ildizlari $((x)_(1))=0$ va 
$((x)_(2))=2$. Biz ularni raqamlar qatorida belgilaymiz va $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$ 
funksiyaning belgilariga qaraymiz: 
Bizni lateral intervallar qiziqtiradigan holat 
Bizni ortiqcha belgisi bilan belgilangan intervallar qiziqtiradi. Javobni yozishgina qoladi: 
Keling, keyingi misolga o'tamiz: 
\[((\left(\frac(1)(3) \o'ng))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ o'ng))^(16-x))\] 
Xo'sh, bu erda hamma narsa aniq: asoslar bir xil sonli kuchlardir. Shuning uchun men hamma narsani 
qisqacha yozaman: 
\[\begin(matritsa) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \pastga \\ 
((\chap(((3)^(-1)) \o'ng))^((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \o'ng))^(16-x)) \\\end(matritsa)\] 
\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ chap (16-x\o'ng)))); \\ & 
((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 
\right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \chap| \cdot \left(-1 \o'ng) 
\o'ng. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \o'ng)\left(x-4 \o'ng) \lt 0. \\\end(hizala)\] 
Ko'rib turganingizdek, transformatsiyalar jarayonida biz manfiy songa ko'paytirishimiz kerak edi, shuning 
uchun tengsizlik belgisi o'zgardi. Oxir-oqibat, kvadrat trinomialni faktorlarga ajratish uchun yana Viet 
teoremasini qo'lladim. Natijada, javob quyidagicha bo'ladi: $x\in \left(-8;4 \right)$ - xohlovchilar buni 
raqamlar chizig'ini chizish, nuqtalarni belgilash va belgilarni sanash orqali tekshirishlari mumkin. Shu 
bilan birga, biz "to'plam" dan oxirgi tengsizlikka o'tamiz: 
\[((\left(3-2\sqrt(2) \o'ng))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\] 
Ko'rib turganingizdek, taglik yana irratsional son va birlik yana o'ng tomonda. Shuning uchun biz 
eksponensial tengsizlikni quyidagicha qayta yozamiz: 

---

\[((\left(3-2\sqrt(2) \o'ng))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ o'ng))^(0))\] 
Keling, ratsionalizatsiya qilaylik: 
\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 
\o'ng)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \o'ng) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \o'ng)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \o'ng) \lt 0. 
\\\end(align)\ ] 
Biroq, $1-\sqrt(2) \lt 0$ ekanligi juda aniq, chunki $\sqrt(2)\taxminan 1,4... \gt 1$. Demak, ikkinchi omil 
yana manfiy konstanta bo'lib, unga ko'ra tengsizlikning ikkala qismini bo'lish mumkin: 
\[\begin(matritsa) \left(3x-((x)^(2))-0 \o'ng)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \o'ng) \lt 0 \\ \pastga qarab \ \\end 
(matritsa)\] 
\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \chap| \cdot \left(-1 \o'ng) \o'ng. \\ & 
((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \o'ng) \lt 0. \\\end(hizala)\] 
Boshqa bazaga o'ting 
Eksponensial tengsizliklarni echishda alohida muammo - bu "to'g'ri" asosni izlash. Afsuski, vazifaga 
birinchi qarashda, nimani asos qilib olish va bu asosning darajasi sifatida nima qilish kerakligi har doim 
ham aniq emas. 
Lekin tashvishlanmang: bu erda sehrli va "maxfiy" texnologiyalar yo'q. Matematikada algoritmlash 
mumkin bo'lmagan har qanday ko'nikma amaliyot orqali osonlik bilan rivojlantirilishi mumkin. Ammo 
buning uchun siz turli darajadagi murakkablikdagi muammolarni hal qilishingiz kerak bo'ladi. Masalan, 
bular: 
\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \o'ng))^(\frac(3)(x)))\ge 
((3)^(2+x)); 
\\ 
& 
((\left(0,16 
\o'ng))^(1+2x))\cdot 
((\left(6,25 
\o'ng))^(x))\ge 
1; 
\\ 
& 
((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ tugatish(tekislash)\] 
Qiyinmi? Qo'rqinchlimi? Ha, bu asfaltdagi tovuqdan osonroq! Keling urinib koramiz. Birinchi tengsizlik: 
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\] 
Menimcha, bu erda hamma narsa aniq: 
Biz asl tengsizlikni qayta yozamiz, hamma narsani "ikki" bazasiga qisqartiramiz: 
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\O'ng strelka \chap(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \o'ng)\cdot \left(2-1 
\o'ng) \lt 0\] 
Ha, ha, siz to'g'ri tushundingiz: men yuqorida tavsiflangan ratsionalizatsiya usulini qo'lladim. Endi biz 
ehtiyotkorlik bilan ishlashimiz kerak: biz kasr-ratsional tengsizlikka ega bo'ldik (bu maxrajda 
o'zgaruvchiga ega bo'lgan tengsizlik), shuning uchun biror narsani nolga tenglashtirishdan oldin hamma 
narsani umumiy maxrajga qisqartirish va doimiy omildan xalos bo'lish kerak. . 
\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-
16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\] 
Endi biz standart interval usulidan foydalanamiz. Numerator nollari: $x=\pm 4$. Maxraj faqat $x=0$ 
bo'lganda nolga tushadi. Hammasi bo'lib, raqamlar chizig'ida belgilanishi kerak bo'lgan uchta nuqta 
mavjud (barcha nuqtalar teshilgan, chunki tengsizlik belgisi qat'iy). Biz olamiz: 
Keyinchalik murakkab holat: uchta ildiz 
Siz taxmin qilganingizdek, lyukka chapdagi ifoda salbiy qiymatlarni qabul qiladigan intervallarni 
belgilaydi. Shunday qilib, ikkita interval bir vaqtning o'zida yakuniy javobga o'tadi: 
Intervallarning uchlari javobga kiritilmagan, chunki dastlabki tengsizlik qat'iy edi. Bu javobni boshqa 
tasdiqlash talab qilinmaydi. Shu nuqtai nazardan, eksponensial tengsizliklar logarifmik tengsizliklarga 
qaraganda ancha sodda: DPV yo'q, cheklovlar yo'q va hokazo. 

---