11. Kvadratik formalar

3-misol. Quyidagi
.
kvadratik formani kanonik ko`rinishga keltiring.
Yechish. Bu kvadratik formaning matritsasi

ko`rinishga ega. Uning xarakteristik ko`phadini topamiz:
.
Shunday qilib, matritsaning uch karrali xarakteristik ildizi: va bitta oddiy xarakteristik ildizi: mavjud.
Demak, bu kvadratik formaning kanonik ko`rinishi quyidagicha bo`ladi:
.
Ba`zi hollarda faqat kanonik ko`rinishini emas, balki bu ko`rinishga keltiruvchi almashtirishni bilish kerak bo`lib qoladi.
Buning uchun berilgan simmetrik matritsani diagonal ko`rinishga keltiruvchi ortogonal matritsani yoki uning teskari matritsasi ni topish va matritsaning xarakteristik ildizlaridan foydalanib tuzilgan

sistemaning fundamental yechimlarini ortonormallash kifoya.
Yuqoridagi 3 – misolda buning amalga oshrilish algoritimini ko`rib chiqamiz.
4-misol. Quyidagi
.
kvadratik formani kanonik ko`rinishga keltiruvchi xosmas almashtirishni toping.
Yechish. bo`lsin. U holda quyidagi sistemani hosil qilamiz:

Bu sistemaning rangi 1 ga teng. Demak, uning 3 ta chiziqli erkli yechimini topish mumkin. Masalan:

vektorlar sistemaning chiziqli erkli yechimlari bo`ladi.
Bu vektorlar sistemasini ortogonallab, quyidagi

vektorlar sistemasini hosil qilamiz.
bo`lsin. U holda quyidagi sistemaga ega bo`lamiz:

Bu sistemaning rangi 3 ga teng. Uning noldan farqli yechimi ko`rinishda bo`ladi. vektorlar ortogonal sistemani tashkil etadi. Uni normallab

ortonormallangan vektorlar sistemasini hosil qilamiz. Shunday qilib, ni kanonik ko`rinishga keltiruvchi almashtirishlardan biri

ko`rinishda bo`ladi.
Mashqni bajaring:
kvadratik formani kanonik ko`rinishga keltiruvchi xosmas almashtirishni toping.
Agar kvadratik formaning kanonik ko`rinishida bo`lsa, u holda bu formani kvadratik formaning normal ko`rinishi deyiladi.
Agar haqiqiy kvadratik forma qaralayogan bo`lsa, uni normal ko`rinishga keltirish masalasi anchagina murakkab masalalardan biri hisoblanadi. Chunki, bunda manfiy sondan kvadrat ildiz chiqarish talab qilinishi mumkin.