11. Kvadratik formalar

1-misol. kvadratik forma ustida

almashtirish bajarilgandan so`ng hosil bo`lgan yangi kvadratik formani toping.
Yechish. Bu yerda kvadratik formaning matritsasi , chiziqli almashtirishning matritsasi esa ko’rinishda bo’ladi. U holda teoremaga asosan
.
Bundan quyidagi kvadratik formani hosil qilamiz:
.
Mashqlarni bajaring. a) kvadratik forma ustida

almashtirish bajarilgandan so`ng hosil bo`lgan yangi kvadratik formani toping.
b) kvadratik forma ustida

almashtirish bajarilgandan so`ng hosil bo`lgan yangi kvadratik formani toping.
Yuqoridagilarga asoslanib quyidagi xulosani chiqarish mumkin.
Chiziqli almashtirish bajarilgandan so`ng kvadratik formaning rangi o`zgarmaydi.

2-ta`rif. Agar (4) kvadratik formada turli noma`lumlarning ko`paytmalari oldidagi barcha koeffitsiyentlar nolga teng bo`lsa, u holda bu forma kvadratik formaning kanonik ko`rinishi deb ataladi. Shunday qilib, quyidagi ifoda (4) formaning kanonik ko`rinishi deyiladi.

Shuni alohida ta`kidlash kerakki, kanonik ko`rinishda noldan farqli koeffitsiyentlar soni (4) kvadratik formaning rangiga teng bo`lishi kerak. Quyidagi teoremani isbotsiz keltiramiz.

Teorema. Har qanday kvadratik forma biror xosmas chiziqli almashtirish orqali kanonik ko`rinishga keltirilishi mumkin.

Bu teoremani matematik induksiya metodi yordamida isbotlash mumkin. Demak, matematik induksiya metodi yordamida kvadratik formani kanonik ko`runishga keltirish mumkin.
Berilgan kvadratik forma keltiriladigan kanonik ko`rinish bir qiymatli aniqlangan emas, ya`ni har qanday kvadratik forma turli usullar bilan turli ko`rinishdagi kanonik ko rinishga keltirilishi mumkin.
2-misol. kvadratik formani
a)
xosmas chiziqli almashtirish yordamida kanonik ko`rinishga keltirish mumkin;
b)
xosmas chiziqli almashtirish yordamida kanonik ko`rinishga keltirish mumkin.
(4) krvadratik formani kanonik ko`rinishda yozish uchun matritsaning xarakteristik ildizlarini, ya`ni ko`phadning ildizlarini topamiz. Bu ildizlar esa kanonik ko`rinishning koeffitsiyentlari bo`ladi.