11-ma’ruza: elektr maydonida zaryadni ko’chirishda bajarilgan ish

Juda ko’p moddar electric neytral hisoblanadi, ularni tashkil qilgan molekulalar dipolardan iborat. Elektr maydoni bo’lmaganda bu dipolar tartibsiz joylashgan bo’ladi.
Skalyar ko‘rinishda ga ega bo‘lamiz. Shunday qilib, ixtiyoriy muhitda nuqtaviy zaryad hosil qilgan maydonning biror nuqtasidagi induktsiya shu zaryadga to‘g‘ri proportsional, masofa kvadratiga teskari proportsionaldir.
Elektr induktsiya vektori miqdor jihatdan bir birlik yuzadan tik ravishda o‘tayotgan induktsiya chiziqlarini, ya’ni uning sirt zichligini ifodalaydi (24-rasm).

Rasm. Elektr induktsiya vektori
Bir jinsli elektr maydonidagi ixtiyoriy S yuza orqali tik
ravishda o‘tayotgan induktsiya chiziqlari induktsiya oqimlari deb ataladi.
,
Agar elektrmaydonibirjinslibo‘lmasa

uholda, dSelementaryuzasohasidagimaydonnibirjinsli deb hisoblashmumkin. U vaqtda (20.4) ifodaquyidagidifferentsialko‘rinishgaegabo‘ladi:
,
IxtiyoriySsirtdano‘tuvchielektrinduktsiyaoqimiNcheksizko‘pshundayelementarelektrinduktsiyaoqimlaridNningyig‘indisibilanifodalanadi:

Ostrogradskiy – Gauss teoremasi

Farazqilaylik, qzaryadixtiyoriyyopiqSsirtichidajoylashganbo‘lsin (rasm).

rasm. Yopiqsirtningfazoviyburchagigato‘g‘rikeluvchielektrinduktsiyavektori
Elektrinduktsiyavektoriningifodasigako‘ra:

bu yerda – vektor zaryad joylashgan nuqtadan chiqqan bo‘lib, – radius - vektor bo‘ylab yo‘naladi. Shuning uchun normal bilan vektor orasidagi fazoviy burchak dS va dS^ sirtlari orasidagi burchakka tengdir. U vaqtda elementar dS sirtdan chiqayotgan elektr induktsiya oqimi quyidagiga teng bo‘ladi:
,
buyerda – elementarfazoviyburchakkatengbo‘lganiuchun

egabo‘lamiz.
Agar butunsharsirtibo‘yichaintegrallasak
,
Ostrogradskiy – Gauss teoremasiningmatematikifodasigaegabo‘lamiz. Ӗpiqsirtdanchiqayotganelektrinduktsiyaoqimishusirtichidagizaryadmiqdorigateng.
Yopiqsirtichida

zaryadlarbo‘lsa, elektrinduktsiyavektoriquyidagigatengbo‘ladi:
.
Elektr induktsiya oqimi esa,
,
ya’ni yopiq sirt ichidagi zaryadlarning arifmetik yig‘indisiga teng bo‘ladi.
Haqiqatda, kuchchiziqlarining oqimi sirt radiusiga bog‘liq emas, ikkita sirt orasidagi fazoda, zaryadlar yo‘q bo‘shliqda uzluksizdir, Shu sababli, zaryadni o‘rab olgan ixtiyoriy sirtdan o‘tadigan elektr induktsiya oqimi ifoda bilan aniqlanadi va u Ostrogradskiy – Gauss teoremasining integral ko‘rinishi deb hisoblanadi. Quyida bu teoremaning differentsial ko‘rinishini keltirib chiqaramiz.