11-ma’ruza kasr-ratsional va ba’zi irratsional funksiyalarni integrallash reja

I. , II.
III. .
ІV.
(Bu yerda A, B – biror haqiqiy koeffitsientlar α, p, q lar ham haqiqiy sonlar)
Ma’lumki, har qanday haqiqiy koeffitsientli koʻphad quyidagi koʻpaytma shaklida ifodalanadi:
, (11.3)
bu yerda lar koʻphadning karrali haqiqiy ildizlari, va .
Teorema (toʻg‘ri kasrni sodda kasrlar yig‘ndisiga ajratish haqida)Maxraji (11.1) shaklda tasvirlangan har qanday toʻg‘ri ratsional kasrni I-IV turdagi oddiy kasrlar yig‘indisiga yoyish mumkin. Bu yoyilmada koʻphadning har bir karrali haqiqiy ildiziga ( koʻpaytuvchisiga)
(11.4)
koʻrinishdagi ta oddiy kasrlar yig‘indisi mos keladi. koʻphadning har bir juft qoʻshma- kompleks ildiziga( koʻpaytuvchisiga)
(11.5)
koʻrinishdagi ta oddiy kasrlar yig‘indisi mos keladi.
Yoyilmadagi koeffitsientlarning qiymatlari esa

1. 
   noma’lum koeffitsientlar usuli;
   
2. 
   oʻrniga qoʻyish usulidan biri yoki ikkalasini qoʻllab aniqlanadi.
   

Noma’lum koeffitsientlari usulida toʻg‘ri ratsional kasrning suratidagi koʻphad hosil boʻlgan kasrning suratidagi koʻphadga aynan tengligidan ning bir xil daragalari oldidagi koeffitsientlar tenglab, ta noma’lum uchun ta tenglamalar sistemasi hosil qilinib noma’lum koeffitsientlar topiladi.
Oʻrniga qoʻyish usulida koʻphadlar, ning barcha qiymatlarida aynan teng boʻlgani uchun, ning tayin xususiy qiymatlarida tenglab noma’lum koeffitsientlar topiladi.
1-misol. Ushbu ratsional kasrni oddiy kasrlar yig‘indisiga ajrating.
Yechish. ratsional kasr toʻg‘ri kasr, chunki suratning darajasi maхrajning darajasidan kichik. Kasrning maхrajini koʻpaytuvchilarga ajratamiz:

Keltirilgan teoremaga asosan, kasrni sodda kasrlarga ajratish bunday koʻrinishda boʻlishi kerak:

A, B, C koeffitsiyentlarni topamiz. Buning uchun tenglikning oʻng qismini umumiy maхrajga keltiramiz va hosil qilingan tenglikning ikkala qismida maхrajni tashlab yuboramiz. Bu amallar natijasi quyidagi tenglikdan iborat boʻladi:
.
x oʻzgaruvchiga istalgan uchta haqiqiy sonli qiymat berib, A, B, C larga nisbatan uchta noma’lum uchta tenglama sistemasini hosil qilamiz. Bu sistemani yechib, noma’lum A, B, C koeffisientlarni topamiz. Sonli qiymatlarni oʻrniga qoʻyish usuli ana shundan iborat. Agar x oʻzgaruvchiga maхrajning ildizlari qiymati ketma-ket berilsa, yanada sodda tenglamalarni hosil qilamiz, chunki ularda har gal faqat bitta noma’lum qoladi.
Haqiqatan ham, qat’iy tenglikdagi oʻzgaruvchiga dastlabki kasr maхrajining ildizlari qiymatlarni beramiz. Agar boʻlsa, ni topamiz, bundan Agar boʻlsa, ni topamiz, bundan Agar boʻlsa, boʻladi, bundan
Endi berilgan tenglikni quyidagi koʻrinishda yozish mumkin:

2-misol. Ushbu ratsional kasrni sodda kasrlar yig‘indisiga ajrating.
Yechish. Berilgan kasrni sodda kasrlar yig‘indisiga ajratamiz:

.
Kasrning maхraji faqat bitta haqiqiy ildizga ega( ). Shuning uchun oʻrniga
qoʻyish va noma’lum koeffitsientlar usullaridan birdan foydalanib, quyidagi
tenglamalar sistemasini hosil qilamiz va undan esa A, B, C koeffitsientlarni topamiz:
,