11-ma’ruza kasr-ratsional va ba’zi irratsional funksiyalarni integrallash reja

6-misol. Ushbu integralni hisoblang.
Yechish. Integral ostida toʻg‘ri ratsional kasr va u І turdagi sodda kasrlar yig‘indisiga ajraladi
,
bundan
A, B, D koeffutsientlarni topish uchun oʻrniga qoʻyish usulidan foydalanamiz:
boʻlganda , bundan
boʻlganda bundan
boʻlganda, bundan
Shunday qilib , quyidagini hosil qilamiz :

.
7-misol. Ushbu integralni hisoblang.
Yechish. Integral ostida toʻg‘ri ratsional kasrning maxrajidagi koʻphad koʻpaytuvchilarga ajratiladi va sodda kasrlar yig‘indisi shaklida ifodalanadi

Umumiy maxraj berib suratlari tenglanadi

A, M, N koeffitsientlarni topish uchun yuqoridagi usullarni birga qoʻllaymiz:

Bundan , va
.
Endi integralni hisoblaymiz:



.
Shunday qilib ratsional kasrni integrallash uchun
1) uning toʻg‘ri yoki notoʻg‘ri kasr ekanligini tekshiriladi, aks holda(ya’ni notoʻg‘ri kasr boʻlganda) butun qismi ajratiladi, koʻphad va toʻg‘ri ratsional kasr hosil qilinadi;
2) toʻg‘ri ratsional kasrni oddiy kasrlar yig‘indisiga ajratiladi;
3) yoyilmaning koeffitsientlari topiladi;
4) ifoda integrallanadi.
3. Ba’zi irratsional ifodalarni integrallash
Har qanday irratsional funksiyalar ucnun ham elementar funksiyalar koʻrinishidagi boshlang‘ich funksiyalarni aniqlab boʻlmaydi. Biz quyida ayrim almashtirishlar yordamida ratsional funksiyalar integrallariga olib kelinadigan irratsional funksiyalarning integrallarini koʻrib chiqamiz..
Quyidagi , (11.8)
bu yerda R-ratsional funksiya, a, b, c , d - oʻzgarmas sonlar, r_i, s_i musbat butun sonlar, integral (11.9) almashtirish yordamida ratsionallashtiriladi. Bu yerda m - kasrlarning umumiy maxraji, ya’ni .
Xususan,

Integral almashtirish yordamida ratsionallashtiriladi.