12-ma’ruza. Ikkili mantiqiy elementlarining qo‘llanilishi. Mantiqiy sxemalarda analiz va sintez masalalari

A
¬A
1	0
0	1

4. “Va-emas” mantiqiy elementi
“Va-emas” mantiqiy elementini Sheffer shtrixi deb ham yuritiladi, u inventorlangan “va”ni amalga oshiradi. Ushbu mantiqiy amal quyidagicha belgilanadi:

Bu belgini quyidagicha yoyib ham yozish mumkin.

“Va-emas” mantiqiy elementining Bul ifodasi ko‘rinishda bo‘ladi.
Va-emas” mantiqiy elementining rostlik jadvali yordamida ishlash printsipini ko’rish mumkin:

A	B	A&B	Y=
0	0	0	1
0	1	0	1
1	0	0	1
1	1	1	0

5. “Yoki-emas” mantiqiy elementi
“Yoki-emas” mantiqiy elementini Pirs strelkasi deb ham yuritiladi, u inventorlangan “yoki”ni amalga oshiradi, sxematik ko’rinishi quyidagicha:

Bu belgini quyidagicha yoyib ham yozish mumkin:

“Yoki-emas” mantiqiy elementining rostlik jadvali yordamida uning ishlash printsipini ko’rish mumkin:

A	B	A\/B	Y=
0	0	0	1
0	1	1	0
1	0	1	0
1	1	1	0

6. 
   “Birortasi, lekin hammasi emas”
   

Ushbu mantiqiy elementning Bul ifodasi:
AB = (AB)
Uning sxematik ko’rinishi quyidagicha:

“Birortasi, lekin hammasi emas” mantiqiy elementining ishlash printsipi quyidagicha:

A	B	AB
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

6. 
   “Birortasi, lekin hammasi emasga yo’l qo’ymaydigan”
   

Mantiqiy elementning Bul ifodasi: (AB) =AB
Uning sxematik ko’rinishi quyidagicha:

“Birortasi, lekin hammasi emasga yo’l qo’ymaydigan” mantiqiy elementining ishlash printsipi quyidagicha:

A	B	AB	(AB) =AB
0	0	0	1
0	1	1	0
1	0	1	0
1	1	0	1

Ikkitadan ortiq kirishga ega bo‘lgan mantiqiy elementlar uchun ham mos ravishda quyidagicha belgilashlar ishlatiladi.

1. 
   ta kirishga ega “va” mantiqiy elementi:
   

3 ta kirishga ega bo’lgan “yoki” mantiqiy elementining sxematik ko’rinishi quyidagicha:

A	B	C	α=α(A,B,C)
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

2. 
   Ikkilik mantiqiy elementlarining qo‘llanilishi.
   

Mantiqiy elementlarning shartli belgilanishi, rostlik jadvallari va Bul ifodalari elektrotexnika sohasidagi real masalalarni yechishda juda qo‘l keladi. Har qanday fikrlar algebrasi formulasini “inkor - ¬”, “va - &”, “yoki – V” amallari orqali yozish mumkin, buning uchun “implikatsiya - →”, “ekvivalentlik - ~” dan qutilish qoidalarini qo‘llash yetarli.
¬, & va V amallaridan iborat formulaga mos paralel va ketma-ket ulash qoidalariga asoslangan sxemalar tuzish mumkin va aksincha, ixtiyoriy raqamli sxemaga mos ¬, & va V amallaridan foydalanib, Bul formulasini tuzish mumkin.
Agar biror bir murakkab sxema berilgan bo‘lsa, unga mos formulani yoyib, mantiq qonunlariga asosan soddalashtirib, soddalashgan formulaga mos sxemani qayta tuzilsa, hosil bo‘lgan soddalashgan sxema boshlang‘ich sxemaning vazifasini bajaradi. Bu amaliyotga minimallashtirish deyiladi.


Misol. Ushbu formulaga mos sxema:

Y uqoridagi sxemani mantiq qonunlari yordamida soddalashtirib, tuzilgan sxema

Ikkala sxema ham bir xil vazifani bajaradi, chunki ularning rostlik jadvallari bir xil.

3.4.3. Mantiqiy sxemalarda analiz va sintez masalalari.
Sintez. Mantiqiy sxemalarning sintezi masalasi quyidagi 3 ta bosqichdan iborat:
1) berilgan fizikaviy ma`lumotlar bo’yicha biror matematik ifoda (tenglama, formula) tuziladi va minimallashtiriladi;
2) minimallashtirilgan matematik ifodaning qandaydir funktsiyani bajaruvchi sxemasi chiziladi;
3) hosil qilingan sxema biror vazifani bajaruvchi haqiqiy sxemaga aylantiriladi.
Analiz. Analiz masalasi – bu ikkinchi bosqichning teskarisi hisoblanadi, ya`ni berilgan mantiqiy sxema bo’yicha matematik ifodani tuzish va tadqiq qilish.
Bizni bu uchta bosqichdan ikkinchisi ko’proq qiziqtiradi. Shuning uchun har doim sintez masalasini yechishda biror mantiqiy α=α(A₁,A₂,…,A_n) funktsiya berilgan bo’ladi, maqsad chiqishda berilgan mantiqiy funktsiya α ning vazifasini bajaruvchi mantiqiy zanjir sxemasini tuzishdan iborat.
Bundan keyin mantiqiy zanjir sxemasi deganda „va“, „yoki“, „emas“ Bul algebrasi bazislari orqali hosil qilingan sxemani tushunamiz.
Misol. (Sintez) Talabalarga 3 kishi yashirin ovoz berganda ko’pchilik ovoz bilan qaror qabul qiladigan sxemani tuzish vazifasi yuklatilgan bo’lsin. Chiqarilgan qarorga ovoz beruvchilar rozi bo’lishsa,o’zlariga tegishli tugmachani bosishadi, aks holda tugmachalarga tegishmaydi. Agar ko’pchilik, ya`ni kamida ikki kishi „ha“ deb ovoz berib, o’zlariga tegishli tugmachalarni bosganda signal chirog’i yonishi kerak.
Hayotiy masalani mantiqiy ko’rinishga o’tkazish maqsadida ovoz beruvchilarni A, B, C mulohaza o’zgaruvchilari deb olamiz, u holda A,B, C, mulohaza o’zgaruvchilari 2 xil qiymat qabul qilishi mumkin: ha deb ovoz berishganda – 1, yo’q deb ovoz berishganda esa – 0 qiymat, betaraf bo’lgan holni inobatga olmaymiz. U holda berilgan masalaning rostlik jadvali quyidagi ko’rinishda bo’ladi.
Ushbu rostlik jadvalining birlar qatori bo’yicha MDNSh dagi formulasi quyidagicha bo‘ladi:
α(A, B, C)= ⌐A&B&C\/A&⌐B&C\/A&B&⌐C\/A&B&C
Yuqoridagi formulaga mos sxema esa quyidagicha bo‘ladi:
3 ta invertor, 4 ta uchtadan kirishga ega bo‘lgan “va”, 1 ta to‘rtta kirishga ega bo‘lgan “yoki”, jami 8 ta elementdan iborat sxema hosil bo‘ladi.
Yuqoridagi formulani mantiq qonunlariga ko‘ra soddalashtiramiz:
α(A,B,C)= ⌐A&B&C\/A&⌐B&C\/A&B&⌐C\/A&B&C=
=A&B&(⌐C\/C)\/C&(⌐A&B\/A&⌐B)=
=A&B\/C)&(A&B\/⌐A&B\/A&⌐B)=(A&B\/C)&(B\/A&⌐B)=
=(A\/B)&(A&B\/C)
Minimallashtirilgan formulaga mos sxema quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi.

Ikkala sxema ham bir xil vazifani bajaradi, chunki ularga mos formulalarning rostlik jadvali bir xil, lekin soddalashgan sxema ikki baravar kam elementdan iborat bo‘lsa-da, qiymat jihatdan undan ham ko‘proq sarf xarajatni talab qiladi.

Nazorat uchun savollar:

1. Nima uchun mantiqiy elementlarga ikkilik mantiqiy elementlar

deyiladi?
2. Bul ifodalari qachondan boshlab raqamli elektron sxemalarda
qo’llanila boshlandi?
3. Asosiy mantiqiy elementlarni sanab bering.
4. “Va” mantiqiy elementining ishlash printsipini tushuntiring.
5. “Yoki” mantiqiy elementi qachon ishlaydi?
6. Invertorning ishlash printsipini tushuntiring.
7. “Va-emas” ikkilik mantiqiy elementi qanday ishlaydi?
8. “Yoki-emas” ikkilik mantiqiy elementining ishlash printsipini
tushuntiring.
9. Minimallashtirish masalasi deganda nimani tushunasiz?
10. Ikkitadan ortiq kirishga ega bo‘lgan mantiqiy elementlar uchun
qanday belgilashlar ishlatiladi?

11. 
    Mantiqiy sxemalar sintezini tushuntiring.
    
12. 
    Mantiqiy sxemalarda analiz deganda nimani tushunasiz?
    

Mustaqil yechish uchun masalalar:
Quyidagi mantiq algebrasi formulalar uchun mantiqiy sxemalar tuzing:
1. (A,B,C)=(A&B&C)(A B)
2. (A,B,C)=(AC)B
3. (A,B,C)=(A→B)→C
4. (A,B,C)=(A→B)(B→C)
5. (A,B,C)=A(B→C)B
6. (A,B,C)=(A&BC)(BC)
7. (A,B,C)=(AB)(BC)
8. (A,B,C)=(ABC)→AC
9. (A,B,C)=((A→B)(A→BC))(AB)
10. (A,B,C)=(A→B)((B→C)→AB)
11. (A,B,C)=(AB)(A→(B→C))
12. α(A,B,C)=(A&B)→(C&A)
13. α(A,B,C)=(A&BC)&A&C
14. α(A,B,C)=(A&BA&B)&(C→B)
15. α(A,B,C)=(AB CABC)AB
16. α(A,B,C)=(A→B)&(C→A)
17. α(A,B,C)=(ACA&C)&B