3-misol y=x3, y=0, x=-1 chiziqlar bilan chegaralangan shakillarnung yuzini hisoblanag.
Yechish. y=x2 funksiya Ox o’qidan pastda joylashgan (25-chizma) Shuning uchun yuzini hisoblashda (2) formulani qo’llaymiz;
22-misol y=cosx funksiya grafigi Ox o’qning kesmasi va x= to’g’ri chiziq bilan chegaralangan shaklning yuzini hisoblang.
Yechish. cosx=0 tenglamani yechib, y=cosx funksiya grafigi kesmada Ox o’qini , kesishini aniqlaymiz (26-chizma).
D emak, (5) formuladan foydalansak.
4-misol. Absissalar o’qi va sikloidaning bitta ark bilan chegaralangan shakl yuzini hisoblang: x=a(t-sint), y=a(1-cost).
Yechish. Sikloida shakli (27-chizma) yuzini (7) formuladan foydalanib topamiz.
5-misol. Bernulli lemniskatasi (x2+y2)2=a2(x2-y2) bilan chegaralangan shakl (28-chizma) ning yuzini hisoblang.
Yechish. Berilgan egri chiziq tenglamasini qutb koordinatalar sistemasida ifodalaymiz. Buning uchun almashtirish bajarsak, yoki ga ega bo’lamiz.
Shaklning simmetrik xossasini va (9) formulani e’tiborga olsak, izlanayotgan yuz:
Egri chiziq tenglamasi (13) parametrik ko’rinishda berilgan bo’lsa, bunda uzluksiz, differensiallanuvchi funksiyalar. Bu holda (13) tenglama biror y=f(x) uzluksiz funksiyani aniqlab, uzluksiz hosilaga ega.
bo’lsin. Bu holda (12) integralda (14) almashtirishni bajarib, (15) yoy uzunligini hisoblovchi formulani hosil qilamiz.
Izoh. Agar egri chiziq fazoda parametrik tenglamalar (16) bilan berilgan bo’lsa , u holda yoyning uzunligi (16) formula bilan aniqlanadi.
6-misol. siklorida bitta arki (27-chizma) uzunligini hisoblang.
Yechish. Sikloida arklari bir xil bo’lgani uchun (15)uning bitta arkini olamiz.
Bunda t parametr 0 dan gacha o’zgaradi, bo’lgani uchun fo’rmulaga ko’ra egri chiziqning uzunligi quyidagicha aniqlanadi :
Qutb koordinatalar sistemasida egri chiziq tenglamasi bo’lsin, bunda qutb radiusi, qutb burchagi.
Qutb koordinatalaridan Dekart koordinatalariga o’tish formulasini yozamiz: . Agar bunda o’rniga uning orqali ifodasini qo’ysak, u holda tenglamalari hosil bo’ladi. Bu tenglamalarga egri chiziqning parametrik tenglamalari deb harash va yoy uzunligini hisoblash uchun formulani tatbiq etish mumkin. Buning uchun x va y dan parametr bo’yicha hosila olamiz: .
Bu holda (18) orqali egri chiziq yoyi uzunligi hisoblanadi. Bunda va qutb burchagi ning yoy uchlaridagi qiymatlari ( ).
Fazoda x=a, x=b tekisliklar orasida joylashgan biror jism berilgan bo’lsin. Ox o’qiga perpendikulyar va nuqtalardan o’tuvchi har qanday tekisliklar bu jismni kesganda hosil bo’lgan kesimning yuzi S(x) ga t eng bo’lsin (31-chizma). U holda x=a, x=b tekisliklar orasidagi jismning hajmi formula bilan hisoblanadi.
