16-§. Differensial tenglama yechimining parametrlarga va boshlang’ich shartlarga bog’liqligi

16-§. Differensial tenglama yechimining parametrlarga va boshlang’ich shartlarga bog’liqligi

16-§. Differensial tenglama yechimining parametrlarga va boshlang’ich shartlarga bog’liqligi.
Biror fizik jarayonni tavsiflovchi differensial tenglama parametrlarga (jumladan massa, elastiklik koeffitsiyentlari va hakoza fizik kattaliklar) bog’liq bo’ladi. Bu parametrlarning qiymatlarini real masalalarda aniq o’lchamini hisoblashning imkoni yo’q, odatda taqribiy hisoblanadi. Ma’lum jarayonni tavsiflovchi differensial tenglamani keltirib chiqarish jarayonida ham xatolikka yo’l qo’yiladi.

Shuning uchun differensial tenglama real jarayonni tavsiflashi uchun, uning yechimi parametrlarga uzluksiz ravishda bog’liq bo’lishi kerak, ya’ni parametrlarning kichik o’zgarishiga differensial tenglamaning yechimi ham mos ravishda kichik o’zgarishi lozim.

Teorema-1. Agar funksiya

sohada aniqlangan uzluksiz bo’lib, uzluksiz va hosilalarga ega bo’lsa, u holda ushbu

(1)

Koshi masalasining yechimi uchun quyidagi tasdiqlar o’rinli:

1. -o’zgaruvchilarning uzluksiz funksiyasidan iborat bo’ladi.

2. uzluksiz funksiya bo’lib,

chiziqli tenglamani qanoatlantiradi.


Isbot. 1. Ixtiyoriy nuqtalarni olib, quyidagi

(2)

(3)

Koshi masalalarini qaraylik. Shu bilan bir qatorda, ularning yechimlarini mos ravishda va orqali belgilaylik.

Teorema shartiga ko’ra, va funksiyalar P sohada uzluksiz bo’lganliklari uchun shunday sonlari topilib,


tengsizliklar o’rinli bo’ladi. Bu munosabatlardan foydalanib quyidagi



baholarni olamiz. Ushbu



integral tenglamalardan foydalanib



ayirmani baholaymiz:

Demak funksiya quyidagi

tengsizlikni qanoatlantirar ekan. Bunda, quyidagi



belgilashni olib, Cronuolla tengsizligidan foydalansak

baho hosil bo’ladi. Agar ixtiyoriy soni uchun sonini

deb tanlasak, u holda tengsizligi bajarilganda

bahoning o’rinli bo’lishi kelib chiqadi. Bu esa yechimning o’zgaruvchilarga nisbatan uzluksiz ekanligini bildiradi. Teoremaning birinchi qismi isbotlandi.

2. Aytaylik (1) masalaning yechimi bo’lsin. U holda funksiya ushbu

(4)

Koshi masalasining yechimi bo’ladi. –yechimning orttirmasi bo’lgani uchun hamda

(5)
o’rinli ekanligini inobatga olib ushbu



tenglikka ega bo’lamiz. Bu tenglikni


(6)

( )
ko’rinishda yozish mumkin. Adamar lemmasiga (M.V. Fidaryuk “обыкновенные дифференсиальные уравнения” kitobining 106-108 betlari) ko’ra (6) tenglamaning o’ng tomonini quyidagicha yozish mumkin:



ya’ni

. (7)

Ushbu va funksiyalar bir xil (bitta) boshlang’ich shartarni qanoatlantirgani uchun

( )

shartga ega bo’lamiz. (7) tenglamaning o’ng tomoni o’zgaruvchilar bo’yicha uzluksiz va o’zgaruvchiga nisbatan uzluksiz differensiallanuvchi bo’lgani uchun Adamar lemmasiga asosan F, G funksiyalar ushbu uzluksiz funksiyalarning integralidan iborat. Yechimning parametrlarga uzluksiz bog’liqligidan funksiya kichik larda uzluksiz. Shuning uchun quyidagi chekli limit mavjud:

Yana Adamar lemmasiga asosan

munosabatlarga ega bo’lamiz. Demak, hosila quyidagi

(8)
differensial tenglamani va


( )
boshlang’ich shartni qanoatlantirar ekan.