26-§. Abel formulasining umumlashmasi.
Teorema-1. Aytaylik funksiyalar -tartibli bir jinsli
(1)
chiziqli differensial tenglamaning chiziqli bog’lanmagan yechimlari bo’lib,
bo’lsin.
U holda (1) differensial tenglamaning umumiy yechimi
, (2)
ko’rinishda bo’ladi. Bunda .
Isbot. Yuqoridagi ikkinchi formulaning o’rinli ekanligini ko’rsatish uchun
(3)
funksiyani (1) differensial tenglamaning yechimi ekanligini ko’rsatish yetarli. -determinatni oxirgi satr elementlari bo’yicha yoyish natijasida
(4)
tenglamaga ega bo’lamiz. Haqiqatan ham ushbu
yoyilmaning ikki tamoniga L operatorni qo’llasak (4) differensial tenglama kelib chiqadi. Bu esa funksiya (1) differensial tenglamaning yechimi ekanligini bildiradi. Yuqoridagi (3) tenglik bilan aniqlangan funksiyaning hosilasini hisoblash qiyinchilik tug’dirmaydi.
(5)
(3) va (5) munosabatlardan foydalanib ning qiymatini topamiz:
(3) va (5) tengliklardan ushbu
boshlang’ich shart kelib chiqadi. Bundan foydalanib ifodaning qiymatini topamiz:
Bundan ko’rinadiki funksiyalar (1) differensial tenglamaning fundamental yechimlari sistemasini tashkil qiladi. Shuning uchun (2) formula (1) differensial tenglamaning umumiy yechimini beradi.
Teorema-2. Faraz qilaylik funksiyalar (1) differensial tenglamaning fundamental yechimlari sistemasidan iborat bo’lsin. U holda quyidagi
(6)
funksiyalar (1) differensial tenglamaning fundamental yechimlari sistemasidan iborat bo’lishi uchun
(7)
bo’lishi zarur va yetarli.
Isbot. L operatorning chiziqliligidan va (6) tenglikdan
kelib chiqadi. Bu esa funksiyalar (1) differensial tenglamaning yechimlaridan iborat ekanligini ko’rsatadi. Shuning uchun, bu funksiyalardan tuzilgan Vronskiy determinant
noldan farqli bo’lishi uchun (7) shartning bajarilishi zarur va yetarli ekanligini ko’rsatamiz. Shu maqsadda funksiyalardan tuzilgan Vronskiy determinantini (6) tenglikdan foydalanib hisoblaymiz:
Bu tenglikda ekanligini e’tiborga olsak bo’lishi uchun bo’lishi zarur va yetarli.■
http://fayllar.org
Dostları ilə paylaş: | 
