16-§. Differensial tenglama yechimining parametrlarga va boshlang’ich shartlarga bog’liqligi

19-§. Ayrim n-tartibli differensial tenglamalarni yechish.
Ushbu

(1)
differensial tenglamaning umumiy yechimini topish bilan shug’ullanamiz.


1. Ketma-ket integrallash usuli.
Avvalo (1) tenglamani


(2)

ko’rinishda yozib olamiz. Endi ixtiyoriy nuqtani olib (2)

differensial tenglamaning dan x gacha integrallab, ushbu


tenglikni hosil qilamiz. Bu munosabatni yana integrallab ushbu



tasvirni topamiz. Yuqoridagi jarayonni davom qildirib


(3)
(1) differensial tenglamaning umumiy yechimini topishga muvoffaq bo’lamiz.

Quyidagi

formuladan foydalanib (3) munosabatni


(4)
ko’rinishda yozish mumkin.

2. Koshi usuli, Avvalo ixtiyoriy nuqtani tanlab olamiz va quyidagi Koshi masalasini qaraymiz:

(5)

( )
So’ngra, ushbu



differensial tenglamaning umumiy yechimini ketma-ket integrallash natijasida topamiz:


(6)

Bu yerdagi o’zgarmaslarning qiymatlarini boshlang’ich shartlardan foydalanib topish mumkin:

(7)

(7) sistemani pastdan yuqoriga qarab ketma-ket yechsak o’zgarmaslarning qiymatlari topiladi:

O’zgarmaslarning bu qiymatlarini (6) tenglikning o’ng tomoniga qo’yib, ushbu



Koshi funksiyasini topamiz.


Lemma-1. Ushbu

(8)
funksiya (1) differensial tenglamaning quyidagi


( )
boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi xususiy yechimdan iborat bo’ladi.
Bu lemmani isbotlashni o’quvchiga havola qilamiz.
Endi, (1) differensial tenglama bir jinsli



qismining umumiy yechimi



ko’rinishda bo’lishini inobatga olsak, u holda (1) differensial tenglamaning umumiy yechimi


(9)
ko’rinishda bo’lishi kelib chiqadi.