16-§. Differensial tenglama yechimining parametrlarga va boshlang’ich shartlarga bog’liqligi

Teorema-2. Agar funksiyalar (1) bir jinsli differensial tenglamaning F.Y.S ni tashkil qilsa, u holda uning umumiy yechimi ushbu

(3)
ko’rinishda yoziladi.


Isbot. (3) ko’rinishdagi y(x) funksiya ushbu


sohada (1) tenglamaning umumiy yechimi ekanligini ko’rsatamiz. Chunki G sohaning har bir nuqtasida Koshi teoremasining shartlari bajariladi.

1. Quyidagi

(4)

algebraik tenglamalar sistemasi -ixtiyoriy o’zgarmaslarga nisbatan yechimga ega. Chunki, bu sistemaning asosiy determinant noldan farqli, ya’ni

2. –o’zgarmaslarning ixtiyoriy qiymatlarida (3) tenglik orqali

aniqlangan y(x) funksiya (1) bir jinsli differensial tenglamaning yechimlaridan
iborat. Shuning uchun (3) tenglik orqali aniqlangan y(x) funksiya G sohada (1) bir jinsli differensial tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi.
Yuqoridagi (3) formula (1) differensial tenglamaning barcha yechimlarini o’z ichiga oladi. Jumladan ushbu


(5)

Koshi masalasining yechimi ham (3) formula tarkibiga kiradi. Bunda va ixtiyoriy berilgan sonlar. Yuqoridagi (4) sistemani (5) dan foydalanib quyidagicha yozish mumkin:

(6)

Bu sistemaning asosiy determinanti noldan farqli bo’lgani uchun, u yagona yechimga ega. Bu topilgan larni (3) formulaga qo’yib

izlanayotgan (5) Koshi masalasining yechimini topamiz. Shuning uchun (1) tenglamaning yechimlar fazosining bazasini tashkil qiladi. tenglama yechimlari fazosi n-o’lchamli chiziqli fazo bo’ladi.

23-§. n-tartibli bir jinsli differensial tenglamani fundamental yechimlar yordamida aniqlash

Teorema-1. Agar ikkita

(1)

(2)
bir jinsli differensial tenglamalar umumiy F.Y.S ga ega bo’lsa, u holda


(3)

munosabatlar o’rinli bo’ladi. Bu yerda -uzluksiz funksiyalar.

Isbot. Faraz qilaylik (1) va (2) differensial tenglamalarning -funksiyalardan iborat bo’lsin. U holda (1) tenglikdan (2) ni ayirib quyidagi

(4)

differensial tenglamani hosil qilamiz. Avvalo, aniqlik uchun deylik. U holda shunday interval topilib, , o’rinli bo’ladi. So’ngra (4) tenglikning ikki tomoni , ga bo’lib

(5)

differensial tenglamaga ega bo’lamiz. Bu differensial tenglama uchun -funksiyalar yechim bo’ladi. Lekin (5) differensial tenglama -tartibli bo’lgani uchun funksiyalar intervalda chiziqli bog’langan bo’ladi. Bu qarama-qarshilik, , ekanligini bildiradi. Xuddi shunday mulohaza yurgizish orqali

tenglik ham isbotlandi. Shunday qilib fundamental yechimlar sistemasi (F.Y.S.) bosh koeffitsiyenti 1 ga teng bo’lgan bir jinsli chiziqli differensial tenglamani yagona aniqlaydi.■

Endi (1) differensial tenglamani, uning fundamental yechimlari orqali qurish mumkinligini bayn qilamiz. Aytaylik ushbu funksiyalar (1) differensial tenglamaning fundamental yechimlaridan iborat bo’lsin, ya’ni

.
Biz izlayotgan bir jinsli n-tartibli chiziqli differensial tenglama



ko’rinishda bo’ladi, ya’ni


. 6)

Berilgan funksiyalarni birin ketin (6) tenglikdagi y(x) o‘rniga qo’yilsa, bu tenglama ayniyatga aylanadi. Bundan ko’rinadiki, funksiyalar (6) tenglamaning yechimlaridan iborat bo’ladi. Endi (6) determinantni (n+1)-ustun bo’yicha yoyamiz:

Bu tenglikning ikki tomonini quyidagi



determinantga bo’lib, ushbu



differensial tenglamaga ega bo’lamiz.

Bu yerda

(7)