24-§. Ostragratisky-Liuvill formulasi
Ushbu funksiyalar quyidagi
(1)
bir jinsli chiziqli differensial tenglamaning fundamental yechimlari sistemasini (F.Y.S) tashkil qilsin.
Quyidagi
(2)
Vronskiy determinantining hosilasini hisoblaymiz:
.
Bu tenglikda oxirgi diterminantdan tashqari barcha diterminantlarning qiymati nolga teng. Chunki ularning har birida ikkita satr elementlari bir xil. Shuning uchun oxirgi tenglik quyidagi ko’rinishni oladi:
. (3)
Bu yerda ushbu
formulani inobatga olsak (3) tenglik quyidagi
(4)
ko’rinishni oladi. Bu esa o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamadir. Oxirgi (4) tenglikni integrallab
(5)
Ostragratiskiy-Liuvill formulasini hosil qilamiz.
Agar biror nuqtada bo’lsa, u holda (5) formuladan
bo’lishi kelib chiqadi. Agar biror nuqtada bo’lsa, u holda (5) formuladan
ekanligi kelib chiqadi.
25- §. Ostragratskiy- Liuvill formulasining tadbiqi (n=2 hol).
Aytaylik ushbu
(1)
ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli differensial tenglamaning bitta nolmas -xususiy yechimi berilgan bo’lsin. U holda uning dan farqli, lekin unga chiziqli bog’lanmagan ikkinchi yechimini topish algoritmini bayon qilamiz. Faraz qilaylik (1) differensial tenglamaning dan farqli ixtiyoriy yechimi bo’lsin. U holda bu va yechimlardan tuzilgan Vronskiy determinanti
uchun quyidagi
(2)
Ostragratiskiy-Liuvill formulasi o’rinli. Endi (2) tenglikni ushbu
(3)
ko’rinishda yozib uni ikki tamonini ga ko’paytirib
(4)
differensial tenglamani hosil qilamiz. Oxirgi (4) differensial tenglamani integrallab
(5)
formulani topamiz. Bu tenglik orqali aniqlangan funksiya (1) differensial tenglamaning umumiy yechimini ifodalaydi.
Ushbu
(6)
funksiya (1) differensial tenglamaning dan farqli, unga chiziqli bog’lanmagan yechimini ifodalaydi.
Agar (1) differensial tenglamada , ya’ni
(7)
bo’lsa, u holda uning umumiy yechimi
(8)
ko’rinishda bo’ladi. Ayrim adabiyotlarda (8) ga Abel formulasi deb ham yuritiladi.
Dostları ilə paylaş: | 
