2. Funksiyalarni interpolyatsiyalash

Misol. Jadval bilan berilgan funksiya qiymatini x = 0,4 boʻlgan hol uchun chiziqli interpolyatsion formuladan foydalanib hisoblang:

i	0	1	2	3
xi	0	0,1	0,3	0,5
yi	–0,5	0	0,2	1

Yechish: (6.5) ga asosan ishchi formulani yozib olamiz:

y = a_ix + b_i

bunda ,

x_t = 0,4; 0,3  x_t 0,5;

Jadvaldagi x_i–1 = 0,3; x_i = 0,5; y_i–1 = 0,2; y_i = 1 qiymatlar yordamida koeffitsiyentlarni hisoblaymiz:

Demak, y = 4x–1 funksiya koʻrinishi aniqlandi. Endi x=0,4 qiymat uchun hosil boʻlgan chiziqli funksiyaning son qiymatini aniqlaymiz: y = 40,4 – 1 = 0,6.

4. Kvadratik (parabolik) interpolyatsiya

Kvadratik interpolyatsiyada interpolyatsion koʻphad sifatida [x_i–1, x_i+1][а, b] oraliqdan olingan kvadrat uchhad qaraladi:

Bunda a_i, b_i, c_i koeffitsiyentlarni aniqlash uchun (6.3) shart asosida tenglamalar sistemasi tuziladi, masalan:

Hisoblash algoritmi yuqoridagi mavzuga oʻxshash, biroq (6.5) munosabat oʻrniga (6.7) sistemani yechish maqsadida (6.6) munosabatdan foydalaniladi. Ravshanki, x_T[x₀, x_n] uchun 3 ta eng yaqin nuqtalar olinadi.

Usulning grafik tasviri quyidagicha:

2- shakl.

Interpolyatsiya tugunlaridan tashqarida nazariy xatolikni topish formulasi:

R(x) =(x – x₀)  (x – x₁)  (x – x₂)

Misol. Jadval bilan berilgan funksiya qiymatini x=0,4 boʻlgan hol uchun kvadratik interpolyatsion formuladan foydalanib hisoblang:

i	0	1	2	3
xi	0	0,1	0,3	0,5
yi	–0,5	0	0,2	1

Yechish: (6.6) ga asosan ishchi formulani yozib olamiz:

y=a_ix²+b_ix+c_i .

a_i, b_i, c_i koeffitsiyentlarni aniqlash uchun (6.7) ga koʻra tenglamalar sistemasini tuzish kerak. Buning uchun x_t = 0,4 nuqtaga eng yaqin boʻlgan 3 ta nuqtani tanlaymiz: x_i–1 = 0,1; x_i = 0,3; x_i+1 = 0,5.

y_i–1 = 0; y_i = 0,2; y_i+1 = 1.

va mos tenglamalarni hosil qilamiz:



Tenglamalar sistemasini matritsaviy koʻrinishda yozib olamiz:

A = ; = ; = =A– .

A^–1 teskari matritsani hisoblab topamiz:

A^–1 = ;

= =  ;

Matritsalarni koʻpaytirib, a, b, c koeffitsiyentlarni aniqlaymiz:

a = 0 – = 7,5; b = –2; c = 0,125;

Natijada, izlangan funksiya koʻrinishini olamiz: y = 7,5x² – 2x + 0,125.

Endi x = 0,4 qiymat uchun hosil boʻlgan kvadratik funksiyaning son qiymatini aniqlaymiz. Natija y = 0,525 ga teng.

5. Lagranj interpolyatsion koʻphadi

Umumiy koʻrinishdagi interpolyatsiyada interpolyatsion koʻphad x_T ning aniqlanish sohasida barcha intervallar uchun (6.2) koʻrinishda izlanadi, ya’ni [x₀, x_n] uchun:

.

a_i koeffitsiyentlarni aniqlash uchun (6.3) tenglamalar sistemasi tuziladi:

Ma’lumki, agar i  j lar uchun x_i  x_j shart oʻrinli boʻlsa, tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega boʻladi. (6.9) tenglamalar sistemasini yechish uchun oldin bayon qilingan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechish usullaridan foydalanish mumkin. (6.9) sistemani toʻg‘ridan toʻg‘ri yechib, F(х) funksiyani (6.8) koʻrinishida olgan ma’qul, bunda bir nechta hisoblashlar bitta jadval boʻyicha bajariladi. y = f(x_T) ni bir martalik hisoblash uchun ā vektor parametrlarini topish shart boʻlmagan boshqa algoritmlar tavsiya etiladi, interpolyatsion koʻphadlar esa {x_i, y_i}, jadval qiymatlari orqali yoziladi. Bular Lagranj va Nyuton interpolyatsion koʻphadlaridir.

a). Ixtiyoriy interpolyatsion tugunlar sistemasi uchun Lagranj formulasi. Lagranj koʻphadi interpolyatsiya tugunlarida f(х) funksiyaning qiymatlaridan tuzilgan chiziqli kombinatsiya koʻrinishida izlanadi va interpolyatsiya tugunlari sistemasidan maxsus qurilgan qandaydir n– darajali koʻphaddan iborat boʻladi:

.

Demak, oldiniga (n+1)– darajali yordamchi koʻphad tuziladi:

va n– darajali koʻphad quyidagicha hosil qilinadi:

.

Koʻrinib turibdiki, (6.11) koʻphad x_i interpolyatsiya tugunlarida nolga aylanadi, ya’ni (x_i) = 0, i = , (6.12) koʻphad _i(x) esa x_i tugunlardan tashqari barcha tugunlarda nolga aylanadi, ya’ni:

(6.12) va (6.13) tengliklardan yangi begona (chet) koʻphad kelib chiqadi:

U j– tugundan boshqa barcha tugunlarda nol qiymatni qabul qiladi, x_j tugunda esa uning qiymati 1 ga teng boʻladi, ya’ni

.

U holda (6. 10) munosabatga koʻra, j– koʻphad l_j(x_i)y_j barcha tugunlarda (x_j dan tashqari) nol qiymatni qabul qiladi va x_j tugunda y_j ga teng boʻladi:

(6.10) ga koʻra quyidagi koʻphadni tuzamiz:

,

bunda .

Yoki yana-da qisqa koʻrinishda quyidagicha boʻladi:

;

(6.14) munosabatning nazariy xatoligini aniqlash mumkin:

, bunda [a, b].

(6.8) koʻphaddan farqli ravishda bu yerda barcha koeffitsiyentlarni oldindan aniqlash talab qilinmaydi. Biroq har bir x_Т uchun (6.14) texnologiya asosida Lagranj koʻphadini hisoblash kerak. Shuning uchun ham hisoblash hajmi (6.9) hisoblash texnologiyasiga nisbatan farq qilmaydi.

Amaliyotda agar turli x_Т lar uchun koʻp sonli takroriy hisoblashlar talab qilinsa, u holda (6.8) sxemadan foydalangan ma’qul. Lagranj koʻphadi boshqa sonli usullarni amalga oshirishda ham keng qoʻllaniladi. Shuni alohida ta’kidlash kerakki, n = 1 boʻlganda bu chiziqli, n = 2 boʻlganda parabolik interpolyatsiya hisoblanadi.