2. Mantiqiy masalalarni yechishning asosiy usullari

1-misol. 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 + 3𝑥 − 5 va 𝑔(𝑥) = 3𝑥2 − 𝑥 + 2
ko‘phadlami yig‘indisi va ko‘paytmasini toping.
Yechish: 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥) = (3𝑥2 − 𝑥 + 2) + (𝑥3 − 2𝑥2 + 3𝑥 − 5) =
= 𝑥3 + (3 − 2)𝑥2 + (−1 + 3)𝑥 + (2 − 5) = 𝑥3 + 𝑥2 + 2𝑥 − 3.
Ushbu ko‘phadlarning ko‘paytmasi quyidagiga teng:
𝑔(𝑥) ⋅ 𝑓(𝑥) = (3𝑥2 − 𝑥 + 2)(𝑥3 − 2𝑥2 + 3𝑥 − 5) =
= 3𝑥5 − 6𝑥4 + 9𝑥3 − 15𝑥2 − 𝑥4 + 2𝑥3 − 3𝑥2 + 5𝑥 +
+2𝑥3 − 4𝑥2 + 6𝑥 − 10 = 3𝑥5 − 7𝑥4 + 13𝑥3 − 22𝑥2 + 11𝑥 − 10.
Kop’hadlar ustida aniqlangan amallar quyidagi xossalarga ega.
a) 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥) ;
b) (𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)) + ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) + (𝑔(𝑥) + ℎ(𝑥)) ; c) 𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑥) ⋅ 𝑓(𝑥) ;
d) (𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥)) ⋅ ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) ⋅ (𝑔(𝑥) ⋅ ℎ(𝑥)) ;
e) (𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)) ⋅ ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) ⋅ ℎ(𝑥) + 𝑔(𝑥) ⋅ ℎ(𝑥) .
Agar 𝑓(𝑥) va 𝑔(𝑥) ko‘phadlar uchun 𝑓(𝑥) = 𝜑(𝑥) ⋅ 𝜓(𝑥) tenglikni qanoatlantiruvchi 𝜓(𝑥) ∈ K[𝑥] ko‘phad mavjud bo‘lsa, 𝑓(𝑥) ko‘phad 𝜑(𝑥) ko‘phadga bo‘linadi deyiladi. Agar 𝑓(𝑥) ko‘phad 𝜑(𝑥) ko‘phadga bo‘linsa, 𝑓(𝑥) bo‘linuvchi, 𝜑(𝑥) esa bo‘luvchi ko‘phad deyiladi, hamda 𝜑(𝑥)|𝑓(𝑥) yoki
𝑓(𝑥): 𝜑(𝑥) kabi belgilanadi.
Ko‘phadlar uchun quyidagilar o‘rinli:
a) agar 𝑔(𝑥)|𝑓(𝑥) va ℎ(𝑥)|𝑔(𝑥) o‘rinli bo‘ lsa u holda ℎ(𝑥)|𝑓(𝑥) ;
b) agar 𝜑(𝑥)|𝑓(𝑥) va 𝜑(𝑥)|𝑔(𝑥) o‘rinli bo‘lsa, u holda 𝜑(𝑥)|(𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥));
c) agar 𝜑(𝑥)|𝑓(𝑥) o‘inli bo‘lsa, u holda ixtiyoriy 𝑔(𝑥) uchun 𝜑(𝑥)|𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥); Agar 𝜑(𝑥)|𝑓1(𝑥), 𝜑(𝑥)|𝑓2(𝑥) , 𝜑(𝑥)|𝑓𝑠(𝑥) bo‘lsa, u holda ixtiyoriy 𝑔1(𝑥), 𝑔2(𝑥) ,
…, 𝑔𝑠(𝑥) ko‘phadlar uchun
𝜑(𝑥)|(𝑓1(𝑥) ⋅ 𝑔1(𝑥) + 𝑓2(𝑥) ⋅ 𝑔2(𝑥) + +𝑓𝑠(𝑥) ⋅ 𝑔𝑠(𝑥));
d) har qanday 𝑓(𝑥) ko‘phad istalgan nolinchi darajali ko‘phadga bo‘linadi; e) agar 𝜑(𝑥)|𝑓(𝑥) bo‘lsa, 𝑐𝜑(𝑥)|𝑓(𝑥), bu yerda 𝑐 ∈ K, 𝑐 ≠ 0;
f) agar 𝑔(𝑥)|𝑓(𝑥) va 𝑓(𝑥)|𝑔(𝑥) bo‘lsa, u holda 𝑓(𝑥) va 𝑔(𝑥) ko‘phadlar bir‐ biridan o‘zgarmas 𝑐 ∈ 𝐾 ko‘paytuvchi bilan farq qiladi.
Agar 𝑓(𝑥) va 𝑔(𝑥) ko‘phadlar uchun 𝑞(𝑥) va 𝑟(𝑥) , deg 𝑟(𝑥) < deg 𝑔(𝑥) ko‘phadlar topilib, 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ⋅ 𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥) , tenglik o‘rinli bo‘lsa 𝑓(𝑥) ko‘phad 𝑔(𝑥) ko‘phadga qoldiqli bo‘lingan deyiladi. Bu yerdagi 𝑞(𝑥) ko‘phadga bo‘linma, 𝑟(𝑥) ga qoldiq deyiladi.
2-misol. 𝑓(𝑥) = 3𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥 + 4 ko‘phadni 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 + 1 ko‘phadga qoldiqli bo‘lish quyidagicha amalga oshiriladi:
Bundan 𝑞(𝑥) = 3𝑥 − 11 va 𝑟(𝑥) = 31𝑥 + 15 ekanligi kelib chiqadi. Demak,
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ⋅ (3𝑥 − 11) + (31𝑥 + 15)
tenglikni hosil qilamiz.
Yevklid algoritmi yordamida 𝑓(𝑥) va 𝑔(𝑥) ko‘phadlar EKUBini topish:
deg𝑓(𝑥)>deg𝑔(𝑥) bo’lsin.
𝑓(𝑥) ni 𝑔(𝑥) ga bo‘lgandagi qoldiq 𝑟1(𝑥),
𝑔(𝑥) ni 𝑟1(𝑥) ga bo‘lgandagi qoldiq 𝑟2(𝑥),
𝑟1(𝑥) ni 𝑟2(𝑥) ga bo‘lgandagi qoldiq 𝑟3(𝑥),
𝑟2(𝑥) ni 𝑟3(𝑥) ga bo‘lgandagi qoldiq 𝑟4(𝑥)
va hokazo shu taxlitda aniqlangan oxirgi qoldiq 0 ga teng, undan bitta oldingi qoldiq 𝑓(𝑥) va 𝑔(𝑥) ko‘phadlar EKUBi bo‘ladi.
3-misol. Yevklid algoritmi yordamida 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 − 𝑥 − 1 va 𝑔(𝑥) = 𝑥3 − 1
ko‘phadlarning EKUBini topaylik.
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ⋅ 1 + (𝑥2 − 𝑥),
𝑔(𝑥) = (𝑥2 − 𝑥)(𝑥 + 1) + (𝑥 − 1), (𝑥2 − 𝑥) = (𝑥 − 1) ⋅ 𝑥.