2. Mantiqiy masalalarni yechishning asosiy usullari

8-masala. 30 ta detalni 5 ta har xil qutiga 6 tadan necha xil usul bilan joylashtirish mumkin?
Yechish: Masalaning shartiga ko‘ra k = 30, k1 = k2 =... = k5 = = 6, m = 5. Formula
bo‘yicha usullar soni: P(6, 6, 6, 6, 6) 
30!
6! 6! 6! 6! 6!
.
Javob: P(6, 6, 6, 6, 6) 
30!
6! 6! 6! 6! 6!
.
k !
P(m  k, k) 
(m  k)!k !
 Cm tenglikdan foydalanib N’yuton binomini ushbu
k
m
(x  a)m   P(m  k, k)  xmk  ak ko‘rinishda yozish mumkin. Umuman olganda
k 0
k1 k1
(x1  x2 ...  xt )  P(k1, k2 ,..., kt )  x1 ... x .
1
k
Bunda k va t-ixtiyoriy natural sonlar, k1  k2  ...  kt  k - nomanfiy butun sonlar
yig’indisi. Xususan x1  x2  ...xt  1 bo‘lganda t  P(k1, k2 ,..., kt ) bo‘ladi.
k
9-masala. (a  b  c)3 ko‘phadning standart shaklini toping.
Yechish: (x  x ...  x )k  P(k , k ,..., k )  x ... x
1
1
1 2 t  1 2 t 1 1
k
k
formulani qo‘llaymiz. t=3,k=3
k1 k2 k3
3
1 2 3  1 2 3 1
(x  x  x )  P(k , k , k )  x  x2 x3 formuladan foydalanamiz.
k1  k2  k3  k , k=3, k1  k2  k3  3. Uchtaliklar: (3,0,0), (0,3,0), (0,0,3), (2,1,0),
(2,0,1), (1,2,0), (1,0,2), (0,1,2), (0,2,1), (1,1,1).
Ulardagi takrorlanishlar soni:
P 3, 0, 0  P 0,3, 0  P 0, 0,3 
3!
 1,
3! 0! 0!
P 2,1, 0  P 1, 2, 0  P 1, 0, 2  P 0,1, 2  P 0, 2,1 
3!
 3 ,
0! 2! 1!
P 2,1, 0  P 1, 2, 0  P 1,1,1 
3!
 6 .
1! 1! 1!
Javob : a  b  c3  a3  b3  c3  3a2b  3a2c  3ab2  3ac2  3b2c  3c2b  6abc .
7. Takrorli kombinatsiyalar.
m xil elementdan k tadan olinib, shunday k taliklar tuzilishi kerak bo‘lsin-ki, ular hech bo‘lmasa bir elementi bilan farq qilsin, bir xil elementlardan tuzilganlari esa teng hisoblansin (element- larning tartibi ahamiyatsizdir). Bunday k taliklarga m
elementdan k tadan olib tuzilgan takrorli kombinatsiyalar deyiladi. Ularning soni
Cm orqali belgilanadi. Takrorli o‘rin almashtirishlar formulasi bo‘yicha hisoblasak
n
k + m- 1 taliklar soni P(k, m 1)  (k  m 1)! ga teng, yoki
k !(m 1)!
k m1
 (k  m 1)! .
k !(m 1)!
k
k
Cm  C
Elementlari soni m = 2 ta bo‘lgan M{a, b} to‘plam berilgan. a dan k1 ta, b dan k2 ta, jami k = k1 + k2= 4 ta olinib, elementlari bilan farq qiluvchi to‘rttaliklar tuzaylik:
(a, a, a, a), bunda k 1= 4, k2 =0, ya’ni tarkibi (4;0) ikkilik,
(a, a, a,b), bunda k1 = 3, k2 =1, ya’ni tarkibi (3; 1) ikkilik, (a, a, b, b),bunda k1= 2, k2 =2, ya’ni tarkibi (2;2) ikkilik, (a, b, b, b),bunda k1 = 1, k2 =3, ya’ni tarkibi (1;3) ikkilik, (b, b, b, b),bunda k1 = 0, k2 =4, ya’ni tarkibi (0;4) ikkilik,
bunda elementlar tartibi rol o‘ynamasin. Biz elementlari takrorlangan
kombinatsiyalarga ega bo‘lamiz. Ularning sonini C orqali belgilaymiz.
4
2
10 - masala. 4 xil kitobdan nechta usul bilan 7 kitobdan iborat to‘plam yozish mumkin?
Yechish: C  C
7
7
7
4
471 10
10! 8 9 10
 120 .
7!(10  7)! 6
 C 

Javob: 120 ta.
Kombinator geometriya.
Geometriyada shunday masalalar borki ularni kombinatorika formulalaridan foydalanib yechish mumkin. Ba’zi shunday masalalardan yechilishini ko‘ramiz.
11-masala. Bir aylanada yotgan 5 ta nuqtadan nechta vatar o‘tkazish mumkin? Yechish: Aylananing ixtiyoriy ikkita nuqtasidan bitta vatar o‘tkazish mumkin. Bitta ikkitalikka bitta vatar mos keladi. 5 ta nuqtadan necha xil usulda 2 talik ajratish mumkin bo‘lsa, shuncha sonda vatar o‘tkazish mumkin bo‘ladi.
C2 
5
5!
 10
2!(5  2)!
Javob: 10 ta.
12-masala. Tekislikda n ta nuqta shunday joylashganki, ulardan hech qaysi uchtasi bitta to‘g‘ri chiziqda yotmaydi. Uchlari shu nuqtalarda joylashgan jami uchburchaklar sonini toping.
Yechish: Jami uchburchaklar soni n ta elementli to‘plamning 3 ta elementli qism to‘plamlari soniga teng.
C3  n!  n(n 1)(n  2)(n  3)!  n(n 1)(n  2)
3!(n  3)! 3!(n  3)! 6
n
Javob: n(n 1)(n  2) ta.
6
Mustaqil yechish uchun masalalar.

• To‘rt xil bolt va uch xil gaykadan bittadan olib necha xil juftliklar tuzish mumkin?
• 2 kitob, 3 daftar va 4 qalam bor. Ulardan bittadan olinib komplektlar tuzilmoqchi. Bu ishni necha xil usul bilan amalga oshirish mumkin?
• Qo‘mitaga 7 kishi saylangan. Ular orasidan rais, yordamchi, kotib necha usul bilan tanlanishi mumkin?
• 6 raqamiga ega bo‘lmagan besh xonali sonlar nechta? 0 va 6 raqamiga ega

bo‘lmaganlari-chi?

• 8 ta har xil kitobdan 3 tasi necha xil usul bilan tanlanishi mumkin?
• Qo‘mitaga 7 kishi saylangan. Ular orasidan rais, yordamchi, kotib necha usul bilan tanlanishi mumkin?
• 20 kishi ichidan 4 vakilni necha usul bilan saylash mumkin?

• «Uchburchak» so‘zidagi harflami o‘rin almashtirib, nechta so‘z hosil qilish mumkin? «Almashtirish» so‘zidagini-chi? «Kombinatorika» so‘zidagini-chi?
• (a  b  c)4 ko‘phadning standart shaklini toping.
• (1 + x+ x2)8 yoyilmasida x6 oldidagi koeffitsiyentni toping. 11)

12)

Tenglamani yeching: 3C  2 A2  1,5x, x  N.
2
x1 x
ABCDE muntazam oltiburchak diagonallari O nuqtada keshishadi. Bir uchi O nuqtada, qolgan uchlari ABCDE oltiburchak uchlarida bo‘lgan nechta uchburchak mavjud?

• ABCDE muntazam oltiburchak diagonallari O nuqtada keshishadi. Bir uchi O nuqtada, qolgan uchlari ABCDE oltiburchak uchlarida bo‘lgan nechta

to‘rtburchak mavjud?

• Diagonallar soni tomonlari soniga teng b‘lgan ko‘pburchakni toping.
• n burchakli qavariq ko‘pburchak nechta diagonalga ega?