2. Mantiqiy masalalarni yechishning asosiy usullari

10. Ko‘phadlar nazariyasining asosiy tushunchalari.
Ko‘phadlar va ular ustida amallar.
Haqiqiy sonlar to‘plami R yoki kompleks sonlar to‘plami C ni K orqali belgilaymiz.
Ta’rif. Ixtiyoriy ai  K, i 0
f x
N uchun
 a  a x  a x2 ...  a xn
0 1 2 n
ifoda haqiqiy (kompleks) koeffitsientli ko‘phad deyiladi.
Ifodadagi x - noma’lum o‘zgaruvchi, a1, a2 ,..., an lar - ko‘phadning koeffitsientlari,
2 n
0 1 2 n
a , a x, a x , ... , a x - lar esa ko‘phadning hadlari deyiladi.
Agar a  0 bo‘lsa, a ga bosh koeffitsient, a x esa bosh had deyiladi,
n n n
n
ko‘phadning a0 hadi ozod had deyiladi.
Ko‘phadda qatnashgan noma’lumning eng katta darajasiga ko‘phadning darajasi deyiladi va degf(x) kabi belgilanadi, ya’ni an  0 bo‘lsa deg f(x) = n.
Barcha koeffitsientlari nolga teng bo‘lgan ko‘phad nol ko‘phad deyiladi. Bir xil darajalari oldidagi koeffitsientlari teng bo‘lgan ko‘phadlar o‘zaro teng ko‘phadlar deyiladi. K da berilgan barcha ko‘phadlar to‘plamini K[x] orqali belgilaymiz.
Shuningdek, f(a) bilan f(x) ko‘phadning x = a nuqtadagi qiymati belgilanadi.
Endi K[x] to‘plamda algebraik amallarni aniqlaymiz.
Ko‘phadIarni qo‘shish. f(x) va g(x) ko‘phadlarning yig‘indisi deb, ularning mos darajalari oldidagi koeffitsientlarni qo‘shishdan hosil bo‘lgan ko‘phadga aytiladi, ya’ni
f  x  g  x
 c xi
i1
n
 i
bu yerda 𝑐𝑖 = 𝑎𝑖 + 𝑏𝑖 bo‘lib, 𝑎𝑗 va 𝑏𝑗 lar mos ravishda 𝑓(𝑥) va 𝑔(𝑥)
ko‘phadlarning koeffitsientlaridir.
Ko‘phadlarni songa ko‘paytirish. 𝑓(𝑥) ko‘phadni 𝜆 soniga ko‘paytmasi deb, berilgan ko‘phadning barcha koeffitsientlarini shu 𝜆 soniga ko‘paytirishdan hosil bo‘lgan ko‘phadga aytiladi, ya’ni
𝑛
𝜆𝑓(𝑥) = ∑ 𝜆 𝑎𝑖𝑥𝑖
𝑖=1
Ko‘phadlarni ko‘paytirish. K[𝑥] to‘plamda ko‘paytirish amalini quyidagicha
kiritamiz: 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) ∈ K[𝑥] ko‘phadlarning ko‘paytmasi sifatida koeffitsientlari
𝑗
𝑑𝑗 = ∑ 𝑎𝑘 𝑏𝑙 ∈ 𝐾, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 + 𝑚.
𝑘+𝑙=0
tenglik bilan aniqlangan
𝑛+𝑚
𝜑(𝑥) = ∑ 𝑑𝑗 𝑥𝑗
𝑗=0
ko‘phadga aytiladi, bu yerda
𝑑0 = 𝑎0𝑏0, 𝑑1 = 𝑎0𝑏1 + 𝑎1𝑏0, 𝑑2 = 𝑎0𝑏2 + 𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏0, …
Ma’lumki, ko‘phadlar ko‘paytmalarining darajasi berilgan ko‘phadlar darajalarining yig‘indisiga teng, ya’ni deg 𝜑(𝑥) = deg 𝑓(𝑥) + deg 𝑔(𝑥) .