2-ma’ruza. Chiziqsiz regressiya reja

2-MA’RUZA. CHIZIQSIZ REGRESSIYA
Reja:
1. Chiziqsiz regressiya modellari
2. Omillarga nisbatan chiziqsiz regressiyalar;
3. Baholanuvchi parametrlar bo'yicha chiziqsiz regressiyalar.
4. Chiziqsiz regressiya uchun korrelyatsiya
Tayanch iboralar: Fillips egri chizig’i, Engel egri chizig’i, omillarga nisbatan chiziqsiz regressiya, baholanuvchi parametrlar bo’yicha chiziqsiz regressiya, chiziqsiz regressiya uchun korrelyatsiya indeksi.
1. Chiziqsiz regressiya modellari
Agar iqtisodiy jarayonlar orasida chiziqsiz munosabatlar mavjud bo’lsa, u holda ular mos ravishda chiziqsiz funksiyalar orqali ifodalanadi. masalan;
teng tomonli giperbola

ikkinchi tartibli parabola

va boshqalar.
Chiziqsiz regressiya ikki sinfga bo'linadi:

1. 
   tenglamaga kiritllgan o'zgaruvchilarga nisbatan chiziqsiz, lekin baholonuvchi parametrlar bo'yicha chiziqli regressiyalar;
   
2. 
   baholanuvchi parametrlar bo'yicha chiziqsiz regressiya.
   

Kiritilgan o'zgaruvchilarga nisbattan chiziqsiz regressiyaga quyidagi funksiyalar misol bo’la oladi:
- turli darajali polinomlar


- teng tomonli giperbola

Baholanuvchi parametrlar bo'yicha chiziqsiz regressiyaga
- darajali

- ko’rsatkichli

- eksponentsial

fuktsiyalar misol bo’la oladi.

2. Omillarga nisbatan chiziqsiz regressiyalar;
Tenglamaga kiritilgan o'zgaravchilar bo'yicha chiziqsiz regressiyaning parametrlarini baholash ko’p qiyinchiliklarni yuzaga keltirmaydi. Ular chiziqli regressiyadagi kabi eng kichik kvadratlar usuli (EKKU) bilan aniqlanadi.
Ikkinchi darajali parabola tenglamasida

o'zgaruvchilarni , deb almashtirib quyidagi ikki omilli chiziqli regressiya tenglamasiga ega bo’lamiz:

Mos ravishda uchinchi, to'rtinchi va hokazo k-tartibli polinomlarda ushbu usulni qoilab, uch, to'rt va hokazo k omilli chiziqli regressiya modellarini olish mumkin.
Misol uchun k-tartibli polinomda ko'p omilli chiziqli regressiya modelini hosil qilamiz. Ushbu tenglamalaraing parametrlami EKKU bilan hech qanday qiyinchiliksiz aniqlash murnkin.
Tajribalar shuni ko'rsatadiki chiziqsiz regressiyalar ichida ko'proq ikkinchi tartibli parabola, ayrim hollarda uchirichi tartibli parabola ishlatiladi. Yuqori tartibli polinomlarni qo'llashdagi chegaralanishlar o’rganiyotgan to'plamning bir jinsliligi bilan bog’iq, polinom darajasi qancha yuqori bo'lsa egri chiziqdagi sinishlar shuncha ko'p bo'ladi va mos ravishda natijaviy belgi to'plami ham bir jinsli bo'lmaydi. Undan tashqari ma’lumotlarni to'plashda va hisoblashlarda noaniqliklar keltirib chiqaradi.
Ikkinchi tartibli parabolani omil belgi qiymatlarining ma'lum bir oraliqda qaralayotgan o'zgaruvchining bog'lanish xususiyatini o’rganishiga: ya'ni to'g'ri bog'lanishni teskari bog’anishga, teskari bog’lanishni to'g'ri bog'lanishga olib keladigan holatlarda qo'llash maqsadga muvofiq. Bunday holatlarda omil belgining natijaviy belgini ekstrial (maksimal yoki minimal) qiymatga erishtiruvchi qiymati aniqlanadi.
Buning uchun ikkinchi darajali parabolaning hosilasi nolga tenglashtiriladi: dan hosila olamiz va , bundan hosil bo’ladi.
Agar berilgan ma'lumatlar bog'lanish yo'nalishini o'zgarishini ta’minlay olmasa, u holda ikkinchi tartibli parabola parametrlarining ma’nosi tushinish qiyin bo'ladi. Bunday holatda bog'lanish shakli boshqa chiziqsiz model bilan almashtiriladi.
Ikkinchi darajali parabolaning a, b, c paramerlarining qiymatlarini topish EKKUni qo'llab quyidagi normal tenglamalar sistemasini matematikaning biror bir usulini qo'llab yechishga olib keladi:

va bo'lganda egri chiziq eng yuqori nuqtaga, ya'ni egri chiziqning sinish, bog'lanish yo'nalishini o'zgartirish nuqtasiga nisbatan simmetrik bo'ladi, aynan o'sish pasayishga o'zgaradi. Bunday funktsiyalarnini iqtisodiyotda jismoniy mehnat bilan shug'ullanuvchi ishchilarning ish haqini ularning yoshiga bog’iqligini o'rganishda kuzatish mumkin. Ishchilaming yoshi kattalashib borgan sari ularning tajribasi ortishi bilan birga uiarning malakasi ham yuqorilashib ish haqi ko’payib boradi. Lekin ma'lum bir yoshdan boshlab organizimni qarishi natijasida mehnat samaradorligini pasayishi ishchining ish haqqini pasayishiga olib kelishi mumkin.
Agar o'zaro bog'lanishmng parabolik shakli natijaviy ko'rsatkichni avval o’sishini so’ngra pasayishini namoish etsa, u holda omil belgining natijani maksimumga erishtiradigan qiymati topiladi. Masalan, oilada A maxsulot (birligini) daromad darajasiga bog'liq holda iste'mol qilinishi

tenglama bilan tavsiflansin. Tenglamaning birinchi tartibli hosilasini nolga tenglab , maksimal iste’mol miqdorini beruvchi daromad qiymatini topamiz, ya'ni ming so'mda iste'mol maksimal darajaga etadi.
va bo'lganida ikkinchi darajali parabola o'zining eng quyi nuqtasiga simmetrik bo'ladi. Bunday holat funktsiyaning bogianish yo'nalishini (kamayishni o'sishga) o'zgartiruvchi eng kichik qiymatni topish imkonini beradi. Faraz qilaylik ishlab chiqarish harajatlarini ishlab chiqarilgan maxsulot hajmiga bog'liqligi quyidagi tenglama bilari tavsiflansin:

bu holatda eng kam harajatga maxsulot birligi ishlab chiqarilganda erishiladi:
Ikkinchi tartibli parabola egri chizig'i simmetrik bo’lganligi sababli u aniq tadqiqotlarda har doim ham qo’lanilavermaydi. Tadqiqotchi ko'pincha parabolaning to'liq shakli bilan emas balki, uning ayrim segmentidan foydalanib ish yuritadi. Parabolik bog'lanishning parametrlari har doim ham mantiqqa ega bo’lavermaydi, Shuning uchun bog'lanish grafigi ikkinchi tartibli parabolani aniq ifodalamasa, u boshqa chiziqsiz funktsiyaga almashtiriladi, masalan darajali funktsiyaga. Ikkinchi tartibli parabola ko'proq qishloq xo'jaligida xosildorlikni berilgan o'g'itlar miqdoriga bog'qligini tavsiflash uchun qo'llaniiadi. Bog'lanishning bu shakli quyidagicha asoslanadi, o'simlikka berilayotgan o'g'itning miqdori ortishi bilan hosildorlik, faqat berilayotgan o'g'itning miqdori optimal dozasiga etgunga qadar oshib boradi, deyiladi. Dozaning keyingi ortishi o'sirniik uchun zarar va hosildorlikni kamayishiga olib keladi. Shuning uchun amalda bunday bogianish ko'proq parabolaning segmenti ko'rinishida beriladi.
Chiziqsiz funktsiyalar sinfida parametrlarning qiymati hech qanday qiyinchiliksiz EKKU bilan aniqlanadigan funktsiya sifatida, ekonometrikada ma'lum bolgan, teng tomonli giperbola

ni ko'rish mumkin. Bunga klassik misol sifatida ishsizlik me'yori (x) va ish haqi (y) ning o'sish foizi orasidagi munosabatini tavsiflovchi Fillips egri chizig’i keltiriladi:

Ingliz iqtisodchisi A.V.Fillips 100 yildan ko'proq davrdagi ma’lumotlarni taxlil qilib XX asrning 50-yillari oxirida ish haqini o'sib borishi darajasi, ishsizlik darajasiga nisbatan teskari bog’langanligani aniqlagan.
ko’rinishidagi teng tomonli giperboladagi ni z bilan almashtirib chiziqli regressiya tenglamasini olamiz. Uning parametrlarini EKKU bilan aniqlash mumkin.
Ushbu funktsiya uchun normal tenglamalar sistemasi quyidagidan iborat:

bo’lganda teskari bog’lanish bo’lib, bo’lganda у a parameter bilan baholanadigan o'zinig eng kichik qiymatiga erishadi.

funktsiyasi bilan ifodalanuvchi Fillips egri chizig'ida a parametrning qiymati 0,00679ga teng, bu ishsizlik darajasining o'sishi bilan ish haqining qo’shimcha o'sishi sur'ati nolga intilishini ko'rsatadi.
bo’lib x cheksizga intilganda ( ) yuqori asimptotaga ega bo’lgan sekin o'suvchi, ya'ni tenglamada a parametr baho beradigan y ning maksimumga erishuvchi, funktsiyaga ega bo’lamiz.
Misol sifatida umumiy harajatlar (yoki daromadlar) bilan uzoq muddatli tovarlarga harajatlar ulushi orasidagi bogianishni ko'rish imimkin. Bunday bogianishning matematik yozuvi Engel egri chizig'i deb nom olgan. 1857 yilda nemis statistik olimi E. Engel oila harajatlarini o’rganishda asosida: daromadni ortishi bilan daromadning oziq-ovqatlarga sarf qilinadigan ulushi kamayib borish qonuniyatini aniqlagan. Mos ravishda daromadning ortib borishi bilan daromadning nooziq-ovqat mahsulotlariga sarf qilinadigan ulushi ortib boradi. Lekin bu o'sish chegarasiz bo’maydi, ya'ni birdan katta yoki 100% dan ko'p bo’maydi. Ayrim tovarlar uchun bu chegara tenglamning a parametri bilan tavsiflanadi. Ushbu tenglamada:
у - nooziq-ovqat tovarlariga harajatlar ulushi;
x - daromad.
Teng tomonii giperbolada a va b parametrlar quyidagicha hisoblanadi:


Engel egri chizig'ining modelini yozish uchun ko'rinishdagi yarim logarifinik funktsiyalar ham qo’llaniladi (1943 y.Uorking va 1964 y.
ni z bilan almashtirsak ko’rinishidagi tenglamani olamiz. Ushbu funktsiya avvalgi funktsiya kabi parametrlar bo’yicha chiziqli, asosiy x o'zgaruvchi bo'yicha esa chiziqli emas. a va b parametrlarrii EKKU yordamida aniqlash mumkin. Bunda normal tenglamalar sistemasi quyidagicha bo’ladi: