20- topshiriq

20- Topshiriq
Matematik fizika tenglamalari fani nazariy va amaliy ahamiyatga ega.Mexanika, fizika, texnika va boshqa sohalarda uchraydigan turli jarayonlar matematik fizika tenglamalari orqali ifodalanadi. Fanning maqsadi matematik fizikaning klassik tenglamalari deb ataluvchi to‘lqin, Laplas, hamda issiqlik tarqalish tenglamalarini tekshirish va ularga qo‘yiladigan asosiy masalalarni yechishdan iborat. Bu tenglamalarni o‘rganish talabalarda tegishli jarayonlar haqida tasavvurga ega bo‘lishlariga imkon beradi. Ayni paytda ularni mantiqiy fikrlashga, to‘gri xulosalar chiqarishga o‘rgatadi.
Matematik fizika tenglamalari hozirgi zamon matematikasining muhim sohalaridandir. U matematikaning bir necha sohalari, jumladan matematik analiz, funksiyalar nazariyasi, integral va differentsial tenglamalar nazariyasi, funksional analiz, fizika, texnika fanlari bilan uzviy bog‘liq. Matematik fizika tenglamalari so‘ngi yillarda keng rivoj topib kelyapti. Endigi kunda matematik fizikaning klassik tenglamalaridan tashqari aralash turdagi xususiy hosilali differensial tenglamalar ham o‘rganilib, va u fizikaning ko‘pgina masalalarini hal qilish uchun keng tatbiq
qilinmoqda.
Matematik fizika tenglamalari fanining asosiy vazifalariga xususiy hosilali tenglamalar haqida umumiy tushuncha berish, ikkinchi tartibili kvazichiziqli tenglamalarning turlarini aniqlab va ularni kanonik ko‘rinishga keltirish, va matematik fizikaning klassik tenglamalari va integral tenglamalarni o‘rganish, har bir turdagi
tenglamalarga asosiy masalaning qo‘yilishi, va bu masalarni yechish usullarini o‘rganishdan iborat. Shu bilan birga bu fanning asosiy mazmuni klassik matematik fizika tenglamalari, integral tenglamalar, aralash turdagi tenglamalarni o‘rganishdir.
Differensial tenglamalar deb, noma’lumi bir yoki bir necha
o‘zgaruvchili funksiya va uning hosilalari qatnashgan tenglamalargaaytiladi.Agar tenglamada noma’lum funksiya ko‘p o‘zgaruvchining (o‘zgaruvchi 2 tadan kam bo‘lmasligi kerak) funksiyasi bo‘lsa, bundaytenglama xususiy hosilali differensial tenglama deyiladi.
y,x erkli o‘zgaruvchining u(x,y) noma’lum funksyasi va
funksiyaning ikkinchi tartibli xususiy hosilalari orasidagi bog‘lanishga,ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalar deyiladi.E² fazoda ikkinchi tartibli xususiy hosilalari mavjud qandaydir u(x,y) funksiya berilgan bo‘lsin
tenglama umumiy holda berilgan xususiy hosilali differensial tenglama
deyiladi.Bu yerdaF - qandaydir funksiya.
Ta’rif: Ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglama
yuqori tartibli hosilalarga nisbatan chiziqli deyiladi, agarda u yuqori tartibli hosilalarga nisbatan ushbu ko‘rinishga ega bo‘lsa:

Misol. Quyidagi tenglamani kanonik ko‘rinishga keltiraylik:


tenglama koeffisiyentlari

Ifodaning kiymatini hisoblaymiz, demak tenglama giperbolik turga tegishli. Xarakteristik tenglamani yechamiz.

Umumiy integrallardan birini va ikkinchisini bilan belgilab,

formulalardan foydalanib hisoblashlarning natijalarini berilgan tenglamaga keltirib qo‘yib, soddalashtirishlardan so‘ng tenglamaning quyidagi kanonik ko‘rinishini hosil qilamiz :