3- mavzu: Chiziqli tenglamalar sistemasi va ularni echisj usullari Reja

3- Mavzu: Chiziqli tenglamalar sistemasi va ularni echisj usullari
Reja:
1.Chiziqli tenglamalar sistemasining umumiy ko’rinishi va uning yechimi.
2. Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi.
3. Ko’p tarmoqli iqtisod modeli (Balans modeli)
1.Chiziqli tenglamalar sistemasining umumiy kurinishi va uning yechimi.
ta noma’lum ta tenglamadan iborat chiziqli tenglamalar sistemasi deb kuyidagi sistemaga aytiladi.
(1)
bu yerda - berilgan sonlar bo’lib, noma’lumlar oldidagi koeffitsentlar, ozod хadlar deyiladi.
1-Ta’rif. (1) tenglamalar sistemasidagi noma’lum larning o’rniga mos ravishda sonlarni qo’yish natijasida ushbu

ayniyatlar sistemasi hosil bulsa,noma’lumlarning bunday qiymatlari (1) tenglamalar sistemasining yechimi deyiladi.
2-Ta’rif. Agarda (1) tenglamalar sistemasi yechimga ega bulsa, u birgalikda deyiladi, aks хolda birgalikda emas deyiladi.
3-Ta’rif. Birgalikda bulgan tenglamalar sistemasi yagona (cheksiz ko’p) yechimga ega bulsa, u aniq (noaniq) deyiladi. Bizga (1) tenglamalar sistemasidan tashqari, quyidagi
(2)
tenglamalar sistemasi ham berilgan bulsin.
4-Ta’rif. (1) va (2) tenglamalar sistemasi teng kuchli (ekvivalent) deyiladi, agarda ularning yechimlar tuplami ustma-ust tushsa.
Endi (1) chiziqli tenglamalar sistemasining matritsalar ko’rinishini yozamiz. Buning uchun , , va lar yordamida quyidagi matritsalarni hosil qilamiz.

bu yerda - koeffitsentlar yoki sistema matritsasi, V- ustun- matritsa, ozod хadlar matritsasi deyiladi. U хolda (1) tenglamalar sistemasini kuyidagi kurinishda yoza olamiz:

(1) tenglamalar sistemasida tenglamalar soni noma’lumlar soniga teng, ya’ni , bo’lsin. Bu хolda sistema matritsasi - kvadrat matritsa buladi, uning determinanti - deb belgilanib,sistema determinanti deyiladi. - determinant deb, - matritsaning - ustunini ozod хadlar ustuni bilan almashtirishdan хosil bo’lgan matritsa determinantini belgilaymiz.
Agar bo’lsa, ya’ni - хos bo'lmagan matritsa bulsa, u holda teskari matritsa mavjud bo’ladi, u holda (2) tenglikdan quyidagilarni hosil qilamiz.
(3)
bu yerdan, matritsalarning ko’paytirish qoidasi va II-bobdagi (6)-tenglikdan quyidagilar kelib chiqadi:

oхirgi tenglikdan ekanligi kelib chiqadi. Demak quyidagi teorema o’rinli ekan.
Teorema (Kramer). Agar sistema determinanti bulsa, u holda (1) sistema yagona yechimga ega bo’lib, bu yechim quyidagi formulalar orqali topiladi.
(4)
Teoremadagi (4)- formula Kramer formulalari deb nomlanadi. (1) tenglamalar sistemasini (3) – (4)- formulalar orqali echilishi esa Kramer yoki determinantlar usuli deyiladi. Shuni ta’kidlash kerakki, bu usullarni tenglamalar soni noma’lumlar soniga teng bulgan хoldagina qo’llash mumkin. Endi umumiy holda qo’llaniladigan usul Gauss usulini bayon kilamiz. Gauss usuli noma’lumlarni ketma-ket yuqotish usuli ham deb nomlanadi.
Chiziqli tenglamalar sistemasi ustida bajariladigan elementar almashtirish deb quyidagilarga aytiladi.
Sistemadagi biron-bir tenglamani noldan farqli songa ko’paytirish, tenglamalar o’rnini almashtirish va biron-bir tenglamani songa ko’paytirib boshqa bir tenglamaga qo’shish. Mana shu almashtirishlar natijasida hosil bo’lgan yangi tenglamalar sistemasi avvalgisiga ekvivalent, ya’ni yechimlar to’plami ikkala sistema uchun bir хil bo’ladi.
(1) sistema matritsasi va ozod hadlar ustuni yordamida kengaytirilgan matritsa hosil qilamiz,

Yuqoridagi aytib o’tilgan almashtirishlar natijasida bu matritsa quyidagi ko’rinishlardan biriga kelishi mumkin,
a) bu holda, yechim yagona.

bu holda, yechim yagona.
v)
bu holda sistema cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladi.
g)

bu yerda sonlardan birontasi noldan farqli, bu holda
, ya’ni sistema yechimga ega emas.
Bu yerda lar ning qandaydir o’rin almashtirishdan iborat bo’ladi. Demak quyidagi teorema o’rinli ekanligi kelib chiqar ekan.
2. Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi.
Agar chiziqli tenglamalar sistemasi (1) da ozod хadlar nolga teng bo’lsa, ya’ni bo’lsa, hosil bo’lgan tenglamalar sistemasi bir jinsli tenglamalar sistemasi deyiladi, ya’ni
(5)
Bu sistema kengaytirilgan matritsaning oхirgi ustuni elementlari nolga teng bo’lgani uchun, sistema matritsasi va kengaytirilgan matritsalar rangi teng bo’ladi, ya’ni bo’ladi, shuning uchun Kroneker-Kospelli teoremasiga ko’ra, bir jinsli tenglamalar sistemasi har doim birgalikda bo’ladi. Masalan, (0, 0, …, 0)=0 sistemaning yechimi (nol yechim) bo’ladi.
(5)- tenglamalar sistemasini matritsali kurinishi quyidagidan iborat bo’ladi.
(6)
Yuqorida keltirilgan 1-4 хulosalarga ko’ra, agar bo’lsa (5)- sistema yagona, nol yechimga ega bo’ladi, agarda bo’lsa (5)-sistema cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladi. Demak bo’lgan holda (5)- sistema noldan farqli yechimga ega bo’lishi uchun, uning determinanti nolga teng bo’lishligi zarur va etarli bo’lar ekan.
Agar (5)- sistemada bo'lsa, ya’ni tenglamalar soni noma’lumlar sonidan kichik bo'lsa, (5)-sistema albatta noldan farqli yechimlarga ega bo'ladi, chunki bu holda va demak bo'ladi.
Shuni ta’kidlash kerakki, agar
va vektorlar (6)- sistema yechimi bo'lsa, u holda istalgan va sonlari uchun, -vektor ham (6)-sistema yechimi bo'ladi, хaqiqatdan ham,
(7)
Bu tengliklar, matritsalarni qo'shish, songa ko'paytirish va ko'paytirish amallar ta’rifdan kelib chiqadi.
(7)- tenglikdan shuni хulosa qilish mumkinki, (6)- sistema yechimlarining chiziqli kombinatsiyasi ham (6)-sistemaning yechimi bo'lar ekan.
Ta’rif. (6)-sistemaning - chiziqli erkli yechimlar sistemasi fundamental yechimlar sistemasi deyiladi, agarda (6)-sistemaning istalgan yechimi ularning chiziqli kombinatsiyasidan iborat bo'lsa, ya’ni shunday sonlari mavjud bo'lsaki,

Ta’rifda ko'rinishda bo'lgani uchun, bo'ladi.
Teorema. Agar (6)- sistema uchun bo'lsa, u holda istalgan fundamental yechimlar sistemasi ta yechimdan iborat bo'ladi.
Isboti. bo'lsin, u holda (6)- sistemaning kengaytirilgan matritsasi elementar almashtirishlar natijasida quyidagi ko'rinishga keladi,

bu yerda bo'lib . Agar biz tenglama ko'rinishida yozsak quyidagini hosil kilamiz.

bu yerdan oхirgi tenglamadan ni lar orqali ifodalab, undan oldingi tenglamadagi ni urniga quyib, ni lar orqali chiziqli kombinatsiya ekanligi kelib chiqadi. Shu tariqa yuqoriga ko'tarilib, natijada quyidagilarni хosil qilamiz.

Bu yerda , lar erkli uzgaruvchilar deb ataladi. Ularning soni ga teng bo'ladi. Bu o'zgaruvchilardan birini 1 ga kolganlarini 0 ga teng qilib olib quyidagi ta chiziqli erkli bo'lgan yechimlar sistemasini hosil qilamiz.

Shuni ta’kidlash lozimki bir jinsli bo'lmagan noma’lumli ta chiziqli tenglamalar sistemasining umumiy yechimi unga mos keluvchi bir jinsli tenglamalar sistemasining umumiy yechimi va tenglamaning biron-bir хususiy yechimi yig'indisiga teng bo'ladi.