3-amaliyot mashg`ulotlar. Yevklid fazosi. Ortogonallishtirish jarayoni. Evklid fazolari ta’rifi

3-amaliyot mashg`ulotlar. Yevklid fazosi. Ortogonallishtirish jarayoni.


Evklid fazolari ta’rifi
Chiziqli fazolarda norma kiritishning sinalgan usullaridan biri, unda skalyar ko‘paytma kiritishdir.
1-ta’rif. Bizga haqiqiy chiziqli fazo berilgan bo‘lsin. Agar dekart ko‘paytmada aniqlangan funksional quyidagi to‘rtta shartni qanoatlantirsa, unga skalyar ko‘paytma deyiladi:
1)
2)
3) ;
4) ,
2-ta’rif. Skalyar ko‘paytma kiritilgan chiziqli fazo Evklid fazosi deyiladi va elementlarning skalyar ko‘paytmasi orqali belgilanadi.
Evklid fazosida elementning normasi
(1)
formula orqali aniqlanadi. Bu funksional norma aksiomalarini qanoatlantiradi. Skalyar ko‘paytmaning 1-4 shartlaridan normaning 1-2 shartlari bevosita kelib chiqadi. Uchburchak aksiomasining bajarilishi Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi deb ataluvchi quyidagi
(2)
tengsizlikdan kelib chiqadi.
Endi (2) tengsizlikni, ya’ni Koshi-Bunyakovskiy tengsizligini isbotlaymiz. ning barcha qiymatlarida nomanfiy bo‘lgan kvadrat uchhadni qaraymiz:
.
Bu kvadrat uchhadning diskriminanti musbat emas, ya’ni

Bundan
, ya’ni .
Endi (1) norma uchun uchburchak aksiomasining bajarilishini ko‘rsatamiz:

Bundan tengsizlik kelib chiqadi.
Shuni ta’kidlaymizki, Evklid fazosida yig‘indi, songa ko‘paytirish va skalyar ko‘paytma amallari uzluksizdir, ya’ni agar (norma bo‘yicha yaqinlashish ma’nosida), (sonli ketma-ketlik sifatida) bo‘lsa, u holda
.
Bu tasdiqlarning isboti quyidagicha:






Ortogonal sistema va ortogonal bazisning mavjudligi
Evklid fazolarida nafaqat vektorning normasini (ya’ni uzunligini), balki vektorlar orasidagi burchak tushunchasini ham kiritish mumkin. Noldan farqli va vektorlar orasidagi burchakning kosinusi
(3)
formula bilan aniqlanadi. Koshi-Bunyakovskiy tengsizligiga ko‘ra (3) ning o‘ng tomoni moduli bo‘yicha birdan oshmaydi va demak (3) formula haqiqatan ham, nolmas va vektorlar orasidagi burchakni bir qiymatli aniqlaydi.
Agar bo‘lsa, u holda va vektorlar ortogonal deyiladi.
3-ta’rif. Agar ixtiyoriy da bo‘lsa, u holda nolmas vektorlar sistemasiga ortogonal sistema deyiladi. Agar bu holda har bir elementning normasi birga teng bo‘lsa, ortogonal normalangan sistema, qisqacha ortonormal sistema deyiladi.
Agar vektorlar ortogonal sistemani tashkil qilsa, u holda chiziqli bog‘lanmagan bo‘ladi. Haqiqatan ham,

bo‘lsin. Bu tenglikning ikkala qismini ga skalyar ko‘paytirib, quyidagiga ega bo‘lamiz

bo‘lgani uchun, barcha larda bo‘ladi.
4-ta’rif. Agar sistemani o‘zida saqlovchi minimal yopiq qism fazo fazoning o‘ziga teng bo‘lsa, u holda sistema to‘la deyiladi.
5-ta’rif. Agar ortonormal sistema to‘la bo‘lsa, u holda bu sistema fazodagi ortonormal (ortogonal normalangan) bazis deyiladi.
Ravshanki, agar - ortogonal sistema bo‘lsa, u holda

ortonormal sistema bo‘ladi.
Misollar. 1. - o‘lchamli Evklid fazosi. Bu fazoda skalyar ko‘paytma quyidagicha kiritiladi
.
Bu fazoda vektorlar sistemasi ortonormal bazisni tashkil qiladi.