3-amaliyot mashg`ulotlar. Yevklid fazosi. Ortogonallishtirish jarayoni. Evklid fazolari ta’rifi

Evklid fazolarida yopiq ortonormal sistema. Parseval tengligi
7-ta’rif. Agar ixtiyoriy uchun
, (9)
tenglik o‘rinli bo‘lsa, ortonormal sistema yopiq sistema deyiladi. (9) tenglik Parseval tengligi deyiladi.
(7) tenglikdan kelib chiqadiki, ortonormal sistemaning yopiq bo‘lishi uchun, har bir da

Fure qatorining qismiy yig‘indilar ketma-ketligi elementga yaqinlashishi kerak.
1-teorema. Separabel Evklid fazosida har qanday to‘la ortonormal sistema yopiq va aksincha.
Isbot. dan olingan ixtiyoriy to‘la ortonormal sistemani qaraymiz. Istalgan uchun Fure koeffitsiyentlarini olamiz. sistema to‘la bo‘lgani uchun ixtiyoriy songa ko‘ra shunday chekli yig‘indi mavjud bo‘lib,

tengsizlik bajariladi. U holda bo‘lganda
.
Olingan bu munosabatlardan

Parseval tengligi kelib chiqadi, ya’ni sistema yopiq ekan.
Endi - dan olingan ixtiyoriy yopiq ortonormal sistema bo‘lsin. vektor qanday bo‘lmasin, uning Fure qatori ning qismiy yig‘indilar ketma-ketligi elementga yaqinlashadi, chunki
.
Shuning uchun - sistemaning barcha chekli kombinatsiyalari to‘plami ning hamma yerida zich bo‘ladi. Ya’ni to‘la ortonormal sistema bo‘ladi.
Misol. 1. separabel Evklid fazosida sistema ortonormal bo‘ladimi? Agar ortonormal sistema bo‘lsa, u to‘lami?
Yechish. Ma’lumki, trigonometrik sistema ortogonaldir. Endi tenglikni tekshiramiz.
.
Demak, ortonormal sistema ekan. Endi uni to‘lalikka tekshiramiz. 14.2-teoremaga ko‘ra sistema to‘la bo‘lishi uchun uning yopiq bo‘lishi zarur va yetarlidir. uchun Parseval tengligi bajarilishini tekshiramiz. ning Fure koeffitsiyentlarini hisoblaymiz. Ma’lumki, toq funksiyaning kesma bo‘yicha olingan integrali nolga teng. Shuning uchun istalgan da
.
Bundan

tengsizlik kelib chiqadi. Parseval tengligi bajarilmayapti, shuning uchun sistema yopiq emas, demak, u to‘la bo‘lmagan ortonormal sistema ekan.