2. Kvadrati bilan jamlanuvchi ketma-ketliklar fazosi, ya’ni ni qaraymiz. Bu fazoda skalyar ko‘paytma quyidagicha kiritiladi
.
3. fazoda skalyar ko‘paytma quyidagicha kiritiladi
(4)
Bu fazoda ortogonal (normalanmagan) bazisga
funksiyalardan tashkil topgan trigonometrik sistema misol bo‘ladi.
4. fazoda ham va elementlarning skalyar ko‘paytmasi (4) tenglik bilan aniqlanadi.
6-ta’rif.Agar Evklid fazosining hamma yerida zich bo‘lgan sanoqli to‘plam mavjud bo‘lsa, separabel Evklid fazosi deyiladi.
Yuqorida keltirilgan , , va fazolar separabel Evklid fazolariga misol bo‘ladi. Har qanday separabel Evklid fazosidagi ixtiyoriy ortonormal sistema ko‘pi bilan sanoqlidir.
Ortogonallashtirish jarayoni 1-teorema.(Ortogonallashtirish jarayoni). Bizga Evklid fazosida chiziqli bog‘lanmagan (5)
elementlar sistemasi berilgan bo‘lsin. U holda Evklid fazosida quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi (6)
sistema mavjud: 1) (6) ortonormal sistema. 2) Har bir element elementlarning chiziqli kombinatsiyasidan iborat, ya’ni
3) har bir element
ko‘rinishda tasvirlanadi. 4) (6) sistemaning har bir elementi 1-3 shartlar bilan bir qiymatli aniqlanadi.
Isbot. element ko‘rinishda izlanadi va
shartdan aniqlanadi. Bu yerdan
. Ko‘rinib turibdiki, bir qiymatli aniqlanadi. Faraz qilaylik, 1-3 shartlarni qanoatlantiruvchi elementlar qurilgan bo‘lsin. Ushbu
elementni kiritamiz. Ko‘rinib turibdiki, agar bo‘lsa, bo‘ladi. tenglik (5) sistemaning chiziqli erkli ekanligiga zid, shuning uchun . Endi
deymiz. vektorning qurilishiga ko‘ra u vektorlarning chiziqli kombinatsiyasi va demak, ham ularning chiziqli kombinatsiyasi, ya’ni
,bu yerda Bundan tashqari , va
,
ya’ni teorema shartlarini qanoatlantiradi. ∆
(5) sistemadan 1-3 shartlarni qanoatlantiruvchi (6) sistemaga o‘tish ortogonallashtirish jarayoni deyiladi. Ko‘rinib turibdiki, (5) va (6) sistemalardan hosil bo‘lgan qism fazolar ustma-ust tushadi. Bundan kelib chiqadiki, bu sistemalar bir vaqtda to‘la yoki to‘la emas.
