4- mavzu: Ikki va uch noma’lumli ikkita va uchta chiziqli tenglamalar sistemasi. Kramer qoidasi

9.11.2020

4- Mavzu: Ikki va uch noma’lumli ikkita va uchta chiziqli tenglamalar sistemasi. Kramer qoidasi

1. Ikki noma’lumli ikkita chiziqli tenglamalar sistemasi. Ikki noma’lumli ikkita chiziqli tenglamalar sistemasining

(20.1)

yechimini topish uchun determinantlar nazariyasidan foydalanamiz. Bu yerda va noma’lum sonlar, qolgan barcha sonlar esa ma’lum. Noma’lumlar oldidagi ko’paytuvchilar sistema koeffisentlari, va sonlar esa ozod hadlar deb ataladi.

Maktab matematika kursidan ba’zi ma’lumotlarni eslatib o’taylik. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish degan so’z, va sonlarning shunday to’plamini topish demakki, ularni sistema tenglamalarining har biriga mos noma’lumlarning o’rniga qo’yilganda ular ayniyatlarga aylanadi. Bunday sonlar to’plamini sistemaning yechimi deb ataymiz. Kamida bitta yechimga ega bo’lgan sistema birgalikdagi sistema deb ataladi. Birgina yechimga ega bo’lgan birgalikdagi sistema aniq sistema deb ataladi. Cheksiz ko’p yechimlarga ega bo’lgan birgalikdagi sistema aniqmas sistema deb ataladi. Bitta ham yechimga ega bo’lmagan sistema birgalikda bo’lmagan sistema deb ataladi.

Endi ba’zi belgilashlar kiritamiz. Sistema koeffisentlaridan quyidagi ikkinchi tartibli determinantni tuzib, uni bilan belgilaymiz va sistema determinanti deb ataymiz:

So’ngra bu determinantda mos ravishda birinchi va ikkinchi ustunlarni ozod hadlar bilan almashtirib, , bilan belgilanadigan ushbu determinantlarni tuzamiz:

Agar bo’lsa, (20.1) sistemaning yechimini aniqlaydigan

(20.2)

formulaning to’g’riligini isbotlaymiz. Isbotlashda algebraik qo’shish qoidasidan foydalanamiz. (20.1) sistema birinchi tenglamasining ikkala qismini ga, ikkinchisini esa ga ko’paytirib va so’ngra olingan tenglamalarni qo’shib, quyidagini olamiz:

. (20.3)

Shunga o’xshash, (20.1) sistema birinchi tenglamasining ikkala qismini ga, ikkinchisini esa ga ko’paytirib, so’ngra olingan tenglamalarni qo’shib, quyidagini olamiz:

. (20.4)

(20.3) va (20.4) formulalarda turgan ayirmalar biz yuqorida kiritgan ikkinchi tartibli determinantlardir:

,

. (20.5)

Bu belgilashlarda (20.3) va (20.4) tenglamalar bunday yoziladi:

(20.6)

Uch hol bo’lishi mumkin. a) Agar sistema determinanti bo’lsa, u holda (20.6) formulalardan (20.1) sistema birgalikda

(20.7)

formulalar bilan aniqlanadigan birgina yechimga ega ekanligi kelib chiqadi. (20.2) formulaning to’g’riligi isbot qilindi. Olingan (20.7) qoida Kramer qoidasi

deb ataladi.

b) Agar sistema determinanti lekin va determinantlardan kamida bittasi nolga teng bo’lmasa, u holda (20.6) formulalardan (20.1) sistema birgalikda emas, ya’ni bitta ham yechimga ega emasligi kelib chiqadi.

v) Agar sistema determinanti va bo’lsa, u holda (20.6) formuladan (20.1) sistema aniqmas, ya’ni cheksiz ko’p yechimlarga ega ekani kelib chiqadi.

1-m i s o l. Ushbu tenglamalar sistemasini yeching:

Y e ch i sh. Determinantlarni hisoblaymiz:

Kramer qoidasidan foydalanib va ni topamiz:

2-m i s o l. Ushbu tenglamalar sistemasini yeching:

Y e ch i sh. Determinantlarni hisoblaymiz:

Sistema birgalikda emas, yechimlari yo’q.

3-m i s o l. Ushbu tenglamalr sistemasini yeching:

Y e ch i sh. Determinantlarni hisoblaymiz:

Sistema aniqmas, cheksiz ko’p yechimlarga ega. Agar ikkinchi tenglamani 2 ga qisqartirsak, sistema ushbu bitta tenglamaga keladi:

Noma’lum ga ixtiyoriy qiymatlar berib, ning mos qiymatlarini hosil qilish mumkin. bo’lsin, u holda bo’lsin, u holda va h.k.

Yana (20.1) sistemaga qaytib, unda ozod hadlar nolga teng deymiz. Bunday chiziqli tenglamalar sistemasi bir jinsli sistema deb ataladi:

Bunda

bo’lganligi uchun bunday sistema bo’lganda aniq yechimga ega yoki bo’lganda cheksiz ko’p yechimga ega. Birgalikda bo’lmaslik ham istisno qilinadi.