4- mavzu: Ikki va uch noma’lumli ikkita va uchta chiziqli tenglamalar sistemasi. Kramer qoidasi

2. Uch noma’lumli uchta chiziqli tenglamalar sistemasi. Endi ushbu uch noma’lumli uchta chiziqli tenglamalar sistemasini qaraymiz:

(20.8)

Ushbu belgilarni kiritamiz:

, .

(20.8) sistema koeffisentlaridan tuzilgan determinantni sistema determinant deb ataymiz. determinantlar determinantdan unda mos ravishda birinchi, ikkinchi yoki uchinchi ustunni ozod hadlar bilan almashtirishdan hosil bo’ladi. Agar bo’lsa, (20.8) sistema yechimini aniqlaydigan ushbu formulalarning to’g’riligini isbotlaymiz:

(20.9)

Isbotlash uchun (20.8) sistema tenglamalaridan va noma’lumlarni yo’qotamiz. Sistemaning birinchi tenglamasini determinant elementining algebraik to’diruvchisiga ko’paytiramiz, ikkinchi tenglamasini elementining algebraik to’diruvchisiga ko’paytiramiz, uchinchi tenglamasini elementining algebraik to’diruvchisiga ko’paytiramiz, keyin esa bu tenglamalarni qo’shamiz. Natijada quyidagini olamiz:

.

Determinantlarning i) va k) xossalarini (9-§) bu tenglamaning chap tomoniga tatbiq qilib,

(20.10)

ga ega bo’lamiz.

Shunga o’xshash quyidagini hosil qilamiz:

,

, (20.11)

Bu tengliklarning chap tomonlarini yuqorida kiritilgan belgilar bilan almashtirib, (20.10) va (20.11) tengliklaeni qayta bunday yozamiz:

,

, (20.12)

.

Agar sistema determinant bo’lsa, u holda (20.8) sistema birgalikda va

(20.13)

formulalar bilan aniqlanadigan birgina yechimga egaligi kelib chiqadi.

(20.9) formulaning to’g’riligi isbotlandi.

Olingan (20.13) qoida uch noma’lumli uchta chiziqli tenglamalarni yechishning Kramer qoidasi deb ataladi.

4- m i s o l. ushbu tenglamalar sistemasini yeching.

,

Y e ch i sh. determinantlarni hisoblaymiz:

Kramer qoidasidan foydalanib, ni topamiz:

(20.8) tenglamalar sistemasiga qaytib, ozod hadlar nolga teng deb hisoblaymiz. Ushbu bir jinsli sistemani qaraymiz:

(20.14)

Determinantlar chunki ular nollardan iborat ustunga ega. Shu sababli bir jinsli sistema bo’lganda birgina nol yechim ga ega yoki bo’lganda cheksiz ko’p yechimlarga ega.