4-Ma’ruza. Chegaraviy masalalarni yechish usullari

Ayirmali metrod chiziqli masala

Ayirmali metodni , eng sodda ikkinchi tartibli chiziqli differinsial tenglama uchun qo’yilgan chegaraviy masala misolida qaraymiz .

_{ } (1)

U(a) = _{ } = _{ } (2)

_{ }Kesmada a =_{ } to’rni qaraymiz. Soddalik uchun bu to’rni tekis deb hisoblaymiz . Ikkinchi tartibli hosilani echimning to’r nuqtalaridagi _{ } qiymatlari orqali ifodalaymiz ; eng sodda

Approksimatsiyadan foydalanamiz :

Bunday approksimatsiyani har bir _{ } n=1,2,…,N-1,ichki nuqta uchun yozish mumkin . Agar buni (1) -tenlamadagi ikkinchi tartibli hosila o’rniga qo’ysak unda tenglama taqribiy bo’lib uni qidirilayotgan _{ }echim emas, balki taqribiy _{ } yechim qanoatlantiradi. Bu almashtirishni bajarib _{ } belgilashni qabul qilsak

Tengliklarga ega bo’lamiz . Bu N-1 ta, algebraik tenglamadan iborat bo’lgan sistemadir. Noma’lumlar soni N+1 ta ,yani noma’lumlar soni tenglamalar sonidan ko’pdir. Ikkita yetmaydigan tenglamani (2) chegaraviy shartlardan hosil qilamiz .

(3)- algebraik sistemani yechib, taqribiy yechimini topamiz. Bunda uchta savol tug’iladi.

1) (3)- ko’rinishli sistemaning yechimi mavjudmi?

2) Agar yechim mavjud bo’lsa, uni qanday topish kerak?

3) _{ } yechimga istalgancha yaqin bo’lgan _{ } taqribiy yechimini topish iloji bormi ?

Eng avvalo ayirmali yechimning mavjudligini tekshiramiz .

P(x)_{ } deb talab qilamiz (1) - masala chiziqli bo’lganligi uchun ayirmali approksimatsiya ham chiziqli bo’ladi ._{ } Shuning uchun (3)-sistema chiziqli algebraik tenglamalar sistemasidan iborat bo’ldi . bo’lganligi uchun, bu sistemaning matritsasi diagonal elementlari absalyut qiymati shu element turgan satrdagi boshqa elementlar absalyut qiymatlari yig’indisidan katta bo’ladi. Bunday sistemaning yechimi mavjud va yagona bo’lishi ma’lum.

Sistemaning matritsasi uch diaganalli bo’lganligi uchun uni progonka usuli bilan yechish samarali .

Quyidagi teorema o’rinli.

Teorema . Agar p(x) va f(x) ikkinchi tartibli uzluksiz hosilaga ega bo’lsalar unda ayirmali yechim, aniq echimga intiladi va xatolik 0(_{ })kabi bo’ladi .

Isbot . Teoremaning shartlaridan _{ } to’rtinchi tartibli uzluksiz hosilaga ega ekanligi kelib chiqadi.

Unda

Munosabat o’rinli bo’ladi .

Bundan aniq yechim

_{ }(_{ }),1_{ }

Ayirmali tenglamani qanoatlantirishi kelib chiqadi .

Bu tenglamadan (3) - tenglamani ayirib _{ } xatolikni qanoatlantiradigan

(2+_{ }) _{ }+_{ }(_{ }), 1_{ } (5)

_{ }0

Tenglamani hosil qilamiz .

_{ } maksimumga erishadigan _{ } nuqtani tanlab olamiz; buning chegaraviy nuqta emasligi ma’lum . _{ } shartni inobatga olib bu nuqtada (5) - tenglikning chap va o’ng tomonlarining absalyut qiymatlarini taqqoslab,

(2+_{ })_{ }+_{ }

Tengsizlikga ega bo’lamiz .Buning o’ng tomonidagi _{ } va _{ } larni _{ } ga almashtirsak

max_{ } max _{ }

tengsizlik hosil bo’ladi . Bu tengsizlik teorema tasdig’ini isbot qiladi .

Ayirmali metod chiziqlimas masala

_{ } (1)

Bir jinsli chegaraviy shartlar bilan berilgan chiziqlimas ikkinchi tartibli differinsial tenglamani qaraymiz . _{ } ikkinchi tartibli uzluksiz hosilaga ega bo’lsin degan talabni qo’yamiz. Unda _{ } funksiyaning to’rtinchi tartibli hosilasi uzluksiz bo’ladi .

Qilib belgilaymiz .

Yuqoridagidek _{ } kesmada tekis turni aniqlab ikkinchi tartibli hosilani chekli ayirma bilan almashtiramiz .

Unda

Chiziqlimas algebraik tenglamlar sistemasiga ega bo’lamiz .

Ayirmali echimning aniq yechimga yaqinlashishini isbot qilamiz, buning uchun _{ } deb faraz qilamiz . Ikkinchi hosilaning aproksimatsiyasi uchun

Munosabat o’rinli bo’lgani uchun, aniq yechim

Ayirmali tenglamalarni qanoatlantiradi .

Bu tenglamalarni (2)-tenglamalardan mos ravishda ayirib

_{ } Xatolik uchun



_{ } (3)

Tenglamalar sistemasini hosil qilamiz .

Bu erda(_{ })_{ } maksimumga erishadigan nuqta bo’lsin . Bu nuqtada (3) munosabatni

(2+_{ }+_{ }+_{ }

Tengsizlik shaklida yozamiz z ning tomonidagi _{ } va _{ } ni _{ }

Almashtirib bu tengsizlikni yana ham kuchaytirib

_{ } (4)

Bahoni hosil qilamiz .

Bu baho h_{ } ayirmali echimning aniq yechimga ikkinchi tartib bilan tekis yaqinlashishni bildiradi .

Ayirmali yechimni topish bilan shug’ullanamiz .

(2)- sistemani iteratsiya metodi yordamida yechish mumkin. Masalan

_{ }=<sub> 

 </sub> (5)

Bu yerda s - iteratsiya nomerini belgilaydi . Iteratsion usulni qo’llasak iteratsiyaning har bir qadamida uch diaganalli chiziqli tenglamalar sistemasi hosil bo’ladi. Bu sistemani progonka metodi yordamida yechish mumkin .(5) - iteratsiya metodining yaqinlashishini tekshiramiz ._{ }

Iteratsiya xatoligi (2) –ni (5) –dan ayirishdan hosil bo’ladigan _{ }-2_{ }

Tenglamani qanoatlantiradi .

Bu sistemani progonka metodi yordamida yechamiz. Bu sistema uchun progonka kaeffisiyentlarini topish rekurrent formulalarini

Shaklda yozish mumkin .

Progonkaning teskari harakat formulalari

Shaklda yoziladi .

Bular izlayotgan yechim bo’ladilar . (6) - sistemaning tenglamalarini o’ng tomonlari uchun

Tengsizliklar bajariladi .

Bularni (7)- ga qo’yib

Bahoga ega bo’lamiz .

Bundan

Bunda

Hosil bo’ladi .

Bu baho iteratsiya metodining

Shart bajarilganda yaqinlashishini ko’rsatadi. Yaqinlashish chiziqli ekanligi ko’rinib turibdi .(ning birinchi darajasi kabi ).

(2) sistemani Nyuton metodi yordamida yechish maqsadga muofiqdir .

Tenglamalarning o’ng tomonlarini chiziqli funksiyaga almashtirib quyidagi formulalarni yozish mumkin :

1_{ }

Bu sistemani Nyuton metodi yordamida yechish mumkin .