4-ma‘ruza. Mavzu: Vektorlar va ular ustida amallar. Reja

2. Vektorlarni ayirish. a va b vektorlarni ayirmasi a - b deb b vektor bilan yig'indisi a vektorni beradigan c vektorga aytiladi. Demak a - b ayirmani topish uchun a vektor bilan b vektorga qarama-qarshi -b vektorni yig'indisini topish lozim ekan. ОА=a va ОС=b vektorlarni ayirmasini topish uchun bu vektorlarni
tomon hisoblab, yasalgan ОАВС parallelogramning С uchidan o'tkazilgan diagonali СА vektorni topish lozim. Ayirma vektorda yo'nalish «ayriluvchidan» dan «kamayuvchi» ga qarab yo'naladi(19^e-chizma).
3. Vektorni songa ko'paytirish. Noldan farqli a vektorning m^0 songa ko'paytmasi deb, a vektorga kollinear, uzunligi \m\ ■ |a| ga teng bo'lgan, m>0, bo'lganda a vektor bilan bir xil yo'nalgan, m < 0 bo'lganda esa unga qarama-qarshi yo'nalgan hamda ma bilan belgilanadigan vektorga aytiladi(20-chizma).




3cZ

-2 cZ

-1-
20-chizma
Izoh. 1. Istalgan a vektorni uning uzunligi |a| bilan unga mos a⁰ birlik vektorni ko'paytmasi shaklida tasvirlash mumkin, ya‘ni a=|a| ■ a⁰.

2. 
   a va b (b Ф0) kollinear vektorlar uchun shunday yagona 2 son mavjud bo'lib a=2b tenglik o'rinli bo'ladi.
   

=2 belgilashni kiritsak a =

a		a
	b yoki ±
b		b

Haqiqatan, a=|a| ■ a⁰, b = |b| ■ b⁰ vektorlarni kollinearligidan a⁰=± b⁰ ekanligi kelib chiqadi. U holda a=± |a| b⁰ = ± 2 b hosil bo'ladi.
Shunday qilib vektorlarni qo'shish, ayirish hamda vektorni songa ko'paytirish natijasida vektor hosil bo'lar ekan.
Vektorlar ustida chiziqli amallar quyidagi xossalarga ega.

1. 
   a+b =b +a (21^a-chizma);
   
2. 
   (a+b )+ с = a + (b + с) (2P-chizma);
   
3. 
   m(a+b )=ma+ mb .
   
4. 
   a +0= a;
   
5. 
   a +(- a )= 0 ;
   
6. 
   a ■1= a ;
   
7. 
   (m+n) ■a= ma+na, m va n haqiqiy sonlar;
   
8. 
   (m-n) ■ a = m-(na )=n (m a ).
   

3. 
   Ikki vektor orasidagi burchak tushunchasi.
   

Fazoda a va b vektorlar berilgan bo'lsin. Fazoda ixtiyoriy 0 nuqtani olib ОА =a va ОВ=b vektorlarni yasaymiz.

5. 
   tarif. a va b vektorlar orasidagi burchak deb ОА va ОВ vektorlardan birini ikkinchisi bilan ustma-ust tushishi uchun burilishi lozim bo'lgan p (0 <p< Я) burchakka aytiladi.
   

a vektor bilan £ o'q orasidagi burchak deganda a vektor bilan £ o'qda joylashgan va у bilan bir xil yo'nalgan £⁰ birlik vektor orasidagi burchak tushiniladi. a va b vektorlar orasidagi burchak (a ^л b ) kabi belgilanadi.


cos( a
Ikki vektorning skalyar ko'paytmasi a • b = |a| • b tos( a л b ) dan

a • b
|a| •	b

л b )=


ni topamiz.



Agar vektorlar a=a _х i + a _y j + a _z k , b =b_x i +b_y j +b_z k yoyilmari yordamida berilgan bo'lsa, u holda (7.9) dan hamda vektorni uzunligini topish formulasi (6.6) dan foydalanib vektorlar orasidagi burchakning kosinusini topish uchun





(7.10)

^b^ ^{+ b}y<sup>2 + b

+ a</sup>y <sup>2

a</sup>x ^bx ^{+ a}y ^by ^{+ a} z^bz

cos( a л b )=

formulani hosil qilamiz.
Misol. a=i -k, b =i +2 j-2k vektorlar orasidagi burchak topilsin.
Yechish.(7.10) formulaga asosan


cos( a л b )=

3 ₌ 1
3^2 a/2 ^,
1 -1 + 0 • 2 + (-1) • (-2)
д/l² + 0² + (-1)² - у] 1² + 2² + (-2)²
(a л в )=45⁰ bo'ladi.
Demak qaralayotgan uchburchak teng yonli to'g'ri burchakli uchburchak ekan.

3. 
   Vektorning o'qqa proeksiyasi va uning xossalari.
   

Fazoda £ o'q va АВ vektor berilgan bo'lsin. А va В nuqtalardan bu o'qqa perpendikulyar tushirib perpendikulyarning asoslarini mos ravishda А₁ va В₁ orqali belgilaymiz. АВ vektor АВ vektorning £ o'qdagi tashkil etuvchisi yoki komponenti deb ataladi (22-chizma). £ 1 va £ 2 sonlar А va В nuqtalarning £ o'qdagi koordinatalari bo'lsin.

5. 
   ta'rif. £2-£ i ayirma АВ vektorning £ o'qqa proeksiyasi deb ataladi.
   

АВ vektorning £ o'qqa proeksiyasi pr_£ АВ kabi belgilanadi. Shunday qilib АВ vektorning £ o'qqa proeksiyasi deb vektorning boshi А va oxiri В nuqtalarning £ o'qdagi proeksiyalari А₁ va В₁ nuqtalar orasidagi masafoga aytilar ekan. Bu masofa

vektor bilan o'qning yo'nalishi mos tushganda «+» ishora bilan aks holda «-» ishora bilan olinadi. Proeksiyani tarifidan АВ vektor o'qqa perpendikulyar bo'lganda uning o'qqa proeksiyasi nolga teng bo'lishi kelib chiqadi. (22- chizma)
Proeksiyaning asosiy xossalarini keltiramiz:

1. 
   a vektorning t o'qqa proeksiyasi a vektor uzunligini bu vektor bilan o'q orasidagi p burchak kosinusiga ko'paytmasiga teng, yani pp a=|a| cosp . Bu 23^a- chizmadan ko'rinib turibdi.
   
2. 
   Ikki vektor yig'indisining o'qqa proeksiyasi qo'shiluvchi vektorlarning shu o'qqa
   

proeksiyalari yig'indisiga teng, yani pp (a + b )= pp a + pp b .
Bu 23^b-chizmadan ko'rinib turibdi.

3. 
   Vektor a ni 2 songa ko'paytirganda uning o'qqa proeksiyasi ham shu songa ko'payadi, yani pp (2 a )= 2. pp a (23^d-chizma).
   

Boshqacha aytganda skalyar ko'paytuvchini proeksiya belgisidan chiqarish mumkin
ekan.






t 2- t 1= pp АВ >0,

t 2- t 1=pp АВ =0,
21-chizma.

t ₂- t 1= pp АВ < 0.

Endi АВ vektorning t o'qdagi tashkil etuvchi АВ vektorni proeksiya orqali ifolalaymiz. t⁰ vektor t o'qqa mos birlik vektor bo'lsin. U holda АВ = pp АВ ■ t⁰ (6.1) bo'lishi ravshan.
Izoh. Vektorning boshqa vektor yo'nalishiga proeksiyasi ham xuddi vektorning o'qqa proeksiyasi kabi aniqlanadi.

3. 
   Vektorni koordinata o'qlaridagi tashkil etuvchilari bo'yicha yoyish.
   

Oxyz fazoda to'g'ri burchakli koordinatalar sistemasini olaylik. O'qlarning har birida boshi koordinatalar boshida bo'lib yo'nalishi o'qning musbat yo'nalishi bilan ustma-ust tushadigan birlik vektorklarni olamiz va ularni i, j, k lar orqali belgilaymiz. Bu yerdagi i 0x o'qqa mos, j 0y o'qqa mos va k 0z o'qqa mos birlik
♦ -►
vektorlar. Demak i, j, k birlik vektorlar o'zaro perpendikulyar va nokomplanar.

5. 
   ta'rif. Uchta i, j,k vektorlar sistemasi dekartning to'g'ri burchakli bazisi yoki ortlar deb ataladi.
   

a fazodagi ixtiyoriy vektor bo'lsin. Shu vektorni i, j,k ortlar orqali ifodalash mumkinmi? Agar mumkin bo'lsa u ifodani qanday topish mumkin? degan savollarga javob topishga harakat qilamiz.

а vektorni o'z-o'ziga parallel ko'chirib uning boshini koordinatalar boshiga joylashtiramiz. а=^ОМ vektorning oxiri М nuqtadan koordinata tekisliklariga parallel tekisliklar o'tkazamiz. Natijada diagonallaridan biri ^ОМ vektordan iborat parallelepipedga ega bo'lamiz. 24-chizmadan vektorlarni qo'shish qoidasiga binoan a = ОМ₁ + М_хр + рМ ga ega bo'lamiz. М_хр = ОМ₂, рМ = ОМ₃ bo'lgani uchun а = ОМ_Х + ОМ₂ + ОМ₃ (6.2) bo'ladi. ОМ_Х , ОМ₂ va ОМ₃
vektorlar mos ravishda а=^ОМ vektorni 0х, 0у va 0z o'qlardagi tashkil etuvchilari bo'lganligi uchun ular (6.1) formulaga ko'ra
ОМ₁ = pr_x ОМ . i, ОМ₂ = Р^гоу ОМ . j, ОМ3 = р^го_гОМ. к (6.3)
bo'ladi.
а=^ОМ vektorning 0х, 0у, 0z o'qlardagi proeksiyalarini mos ravishda ах,
ау, az lar orqali belgilasak (6.2) va (6.3) formulalarga asoslanib
a = a_x i + a_y j + a_z к (6.4)
formulaga ega bo'lamiz.


Shunday qilib fazodagi istalgan a vektorni yagona usul bilan dekart bazisi i , j,к orqali (6.4) ko'rinishda ifodalash mumkin ekan. (6.4) a vektorni uning koordinatalar o'q laridagi tashkil etuvchilari orqali yoyilmasidir. Bu yoyilmani har xil qo'llanmalarda har xil nomlar bilan yuritiladi. Masalan uni vektorni ortlar, dekart bazisi, vektorni proeksiyalari va koordinatalari orqali yoyilmasi deb ham yuritiladi.
Faraz qilaylik vektorning oxiri М nuqta x,y,z koordinatalarga ega bo'lsin. U holda a = ^ОМ vektorning koordinata o'qlaridagi proeksiyalari ax=x, ay=y, az=z bo'lib (6.4) yoyilma
> —►
a =x i +y j +z к (6.5)
ko'rinishga ega bo'ladi. Vektorning koordinata o'qlaridagi proeksiyalarini uning koordinatalari deb ham ataladi. O'qlardagi proeksiyalari ax, ay, az ga teng a vektorni a{ax , ay , az } yoki a ={ax; ay; az } ko'rinishda yozamiz.
ах - a vektorning abssissasi, ау - ordinatasi, az - applikatasi deb ataladi.
Shunday qilib boshi koordinatalar boshida bo'lgan а =^ОМ vektor bilan uni oxiri M nuqta bir xil koordinatalarga ega bo'lar ekan.
^ОМ vektor M nuqtaning radius-vektori deyiladi.