5- ma’ruza. Metrik fazolarda ochiq va yopiq to‘plamlar. To‘la va separabel metrik fazolar(2soat) Darsning rejasi

5.1-teorema. Quyidagi tasdiqlar o‘rinli:
1) ;
2) ;
3) agar bo‘lsa, u holda ;
4) .
Isbot. to‘plamning har bir nuqtasi uning uchun urinish nuqtasi bo‘lishi bevosita ta’rifdan kelib chiqadi, shuning uchun .
Endi ikkinchi tasdiq isbotiga o‘tamiz. Birinchi tasdiqqa ko‘ra . Endi ixtiyoriy nuqta bo‘lsin. U holda ixtiyoriy uchun , ya’ni shunday mavjudki, . Shunga o‘xshash, . Ya’ni shunday mavjud bo‘lib, bo‘ladi. U holda

ya’ni . Bundan ekanligi kelib chiqadi. Shunday ekan, . Demak, .
Uchinchi tasdiqning isboti. to‘plamning ixtiyoriy nuqtasini olamiz. U holda ixtiyoriy uchun . Bundan ekanligi kelib chiqadi. Demak, nuqta to‘plamning urinish nuqtasi, ya’ni ekan. Bundan .
Nihoyat, to‘rtinchi tasdiq isbotiga o‘tamiz. Agar bo‘lsa, u holda ixtiyoriy uchun bo‘ladi. Bundan, yoki tengsizliklardan kamida bittasi bajariladi. U holda yoki , bundan ekan. Ya’ni . Ikkinchi tomondan, va bo‘lgani uchun, 3-tasdiqqa ko‘ra va . Shunday ekan, . Demak, . ∆
5.4-ta’rif. - metrik fazo va - uning bo‘shmas qism to‘plami bo‘lsin. Agar ning ixtiyoriy atrofi ning cheksiz ko‘p elementlarini saqlasa, u holda nuqta to‘plamning limitik nuqtasi deyiladi.
To‘plamning limitik nuqtasi shu to‘plamga tegishli bo‘lishi ham, bo‘lmasligi ham mumkin.
5.5. Agar barcha ratsional sonlar to‘plami bo‘lsa, u holda ning har bir nuqtasi uchun limitik nuqta bo‘ladi.
5.5-ta’rif. Agar to‘plamga tegishli nuqta uchun shunday mavjud bo‘lib, bo‘lsa, u holda nuqta to‘plamning yakkalangan (yolg‘iz ) nuqtasi deyiladi.
O‘quvchi mustaqil isbotlashi mumkin bo‘lgan quyidagi tasdiqlar o‘rinli.
to‘plamning istalgan urinish nuqtasi shu to‘plamning limitik nuqtasi, yoki yakkalangan nuqtasi bo‘ladi. Bu yerdan xulosa sifatida kelib chiqadiki, to‘plam uch turdagi nuqtalardan tashkil bo‘lishi mumkin:
1) to‘plamning yakkalangan nuqtalari,
2) ga tegishli bo‘lgan, ning limitik nuqtalari,
3) ga tegishli bo‘lmagan ning limitik nuqtalari.
Bu xulosalardan kelib chiqadiki, dan uning yopig‘i ga o‘tish, ga tegishli bo‘lmagan limitik nuqtalarni ga qo‘shib olish bilan amalga oshiriladi.