5.14. Har qanday metrik fazoda va to‘plamlar yopiq to‘plamlardir.
5.15. Har qanday metrik fazoda chekli to‘plam yopiqdir.
5.3-teorema.Ixtiyoriy sondagi yopiq to‘plamlar kesishmasi va chekli sondagi yopiq to‘plamlar yig‘indisi yopiqdir. 5.9-ta’rif.Agar nuqta uchun shunday mavjud bo‘lib, atrof da to‘liq saqlansa ( ), u holda nuqta to‘plamning ichki nuqtasi deyiladi. Faqat ichki nuqtalardan tashkil topgan to‘plam ochiq to‘plam deyiladi. Misollar. 5.15. sonlar o‘qida ixtiyoriy interval ochiq to‘plamdir. Haqiqatan, agar desak, son uchun .
5.17. fazodagi funksiyani olib, tayinlaymiz va orqali shartni qanoatlantiruvchi funksiyalar to‘plamini belgilaymiz. U holda ochiq to‘plam bo‘ladi.
5.4-teorema. to‘plam ochiq bo‘lishi uchun uning butun fazogacha to‘ldiruvchisi yopiq bo‘lishi zarur va yetarli. 5.18. Bo‘sh to‘plam va fazo yopiq to‘plamlardir. Ular biri-ikkinchisining to‘ldiruvchisi bo‘lgani uchun 5.4-teoremaga ko‘ra va lar ochiq to‘plamlar ham bo‘ladi.
Ikkilik prinsiplari hamda 5.3 va 5.4-teoremalar natijasi sifatida quyidagi teoremani keltiramiz.
5.5-teorema.Ixtiyoriy sondagi ochiq to‘plamlar yig‘indisi va chekli sondagi ochiq to‘plamlar kesishmasi yana ochiq to‘plamdir. To’la metrik fazolar 5.1-ta’rif. Agar ixtiyoriy uchun shunday natural son mavjud bo‘lib, barcha va nomerlar uchun tengsizlik bajarilsa, u holda fundamental ketma-ketlik deyiladi. Uchburchak aksiomasidan bevosita kelib chiqadiki, har qanday yaqinlashuvchi ketma-ketlik fundamentaldir. Haqiqatan ham, agar ketma-ketlik ga yaqinlashsa, ixtiyoriy uchun shunday son mavjudki, barcha nomerlarda tengsizlik bajariladi. U holda ixtiyoriy va nomerlar uchun
