5.5. Metrik fazolarda yaqinlashish 5.6-ta’rif. metrik fazoda nuqtalar ketma-ketligi va nuqta berilgan bo‘lsin. Agar ixtiyoriy uchun shunday nomer mavjud bo‘lib, barcha lar uchun nuqta ning atrofiga tegishli bo‘lsa, u holda bu ketma-ketlik nuqtaga yaqinlashadi deyiladi. Agar ketma-ketlik nuqtaga yaqinlashsa, u holda nuqta ketma-ketlikning limiti deyiladi.`
Bu ta’rifni quyidagicha ham ifodalash mumkin:
Agar
munosabat bajarilsa, ketma - ketlik nuqtaga yaqinlashadi deyiladi.
Yaqinlashuvchi ketma-ketlik ta’rifidan quyidagi ikki xulosa bevosita kelib chiqadi:
1) hech qanday ketma-ketlik ikkita har xil limitga ega emas;
2) agar ketma-ketlik nuqtaga yaqinlashsa, u holda uning ixtiyoriy qismiy ketma-ketligi ham nuqtaga yaqinlashadi.
5.2-teorema.Biror nuqta to‘plamning urinish nuqtasi bo‘lishi uchun da ga yaqinlashuvchi ketma - ketlikning mavjud bo‘lishi zarur va yetarli.
Agar - to‘plamning limitik nuqtasi bo‘lsa, u holda nuqtalarni har xil qilib tanlash mumkin, chunki - cheksiz to‘plam. Shunday qilib, nuqta to‘plam uchun limitik nuqta bo‘lishi uchun da ga yaqinlashuvchi har xil nuqtalardan tashkil bo‘lgan ketma-ketlikning mavjud bo‘lishi zarur va yetarli.
5.3. Ochiq va yopiq to‘plamlar 5.8-ta’rif.Agar metrik fazodagi to‘plam uchun tenglik bajarilsa, yopiq to‘plam deb ataladi. Boshqacha aytganda, agar to‘plam o‘zining barcha limitik nuqtalarini saqlasa, u yopiq to‘plam deb ataladi. Ta’kidlash lozimki, 5.1-teoremaga ko‘ra to‘plamning yopig‘i - yopiq to‘plamdir, hamda to‘plam ni o‘zida saqlovchi minimal yopiq to‘plamdir.
Misollar. 5.15. Har qanday metrik fazoda yopiq shar yopiq to‘plam bo‘ladi. Xususan, fazoda ixtiyoriy uchun shartni qanoatlantiruvchi funksiyalar to‘plami yopiq to‘plam bo‘ladi.
5.13. fazoda (ochiq shar) shartni qanoatlantiruvchi funksiyalar to‘plami yopiq emas, uning yopig‘i shartni qanoatlantiruvchi funksiyalar to‘plamidan iborat.
