6-mavzu: Kompleks sonlar. Kompleks sonlar to‘plami

2- m i s o 1. a) 1 + i; b) 3i; d) -1 + i; e) 1 – i sonlarini trigonometrik shaklda ifodalang.
Yechish.
a) |1 + i = , ,
1 +i= (cos + isin ) (18- a rasm);

1. 
   3i=3 , , 3i = 3(cos +isin ) (18-b rasm);
   

Trigonometrik shaklda berilgan kompleks sonlarni ko’paytirish, bo’lish,darajaga ko’tarish.
Trgonometrik shaklda yozilgan kompleks sonlarni ko’poaytirish,bo’lish va darajaga ko’tarish qoidalarini keltirib chiqarish uchun asos bo’ladigan teoremalarni qaraymiz.

1. 
   Kompleks sonlar ko’paytmasining moduli ko’paytuvchilar modullarining ko’paytmasiga tenng, ko’paytuvchilarning har qanday argumentlari yig’indisi shu kompleks sonlar ko’paytmasining biror argumenti bo’ladi.
   

Isbot. z=r(cosφ+isinφ) va w=R(cosα+isinα) larz,w kompleks sonlarning biror trigonometrik shakli bo’lsi. U holda, z va w sonlar ko’paytmasini ko’phadlarni ko’paytirish qoidasi yordamida topsak, zw=rR(cos(φ+·)+isin(φ+α)) hosil bo’ladi. Demak |zw|=rR=|z||w| va φ+α ning biror argumentidan iborat
2-teorema. Kompleks sonlar nisbatining moduli bo'linuvchi va bo'luvchi modullarining nisbatiga teng, bo'linuvchi va bo'luvchi har qanday argumentlarining ayirmasi bo'linmaning biror argumenti bo'ladi.
Isbot. z = =r(cosφ+isinφ) va w=R(cosα+isinα) lar z va w kompleks sonlarining biror trigonometrik shakli bolsin.


U holda


t englik bajariladi. Bu yerdan esa ekanligi va φ-α sonning uchun argument bo'lishi
kelib chiqadi.
Endi trigonometrik shaklda berilgan sonlarni ko'paytirish, bo'lish va darajaga ko'tarish qoidalarini keltiramiz.
Trigonometrik shaklda (bosh trigonometrik shaklda bo'lishi shart emas!) berilgan z=r(cosφ+isinφ) va w=R(cosφ+isinφ) kompleks sonlarni:

1. 
   ko'paytirish uchun, zw=rR(cos(φ+α)+isin(φ+α)) tenglikni tuzish va φ + α ni bosh argument bilan almashttrish;
   
2. 
   bo'lish uchun , = (cos(φ-α)+isin(φ-α)) teng­ likni tuzish va φ – α ni bosh argument bilan almashtirish kerak.
   

Trigonometrik shaklda berilgan kompleks sonlarni ko'­paytirish qoidasini zⁿ = z·z···z (n ta ko'paytuvchi) ko’paytma uchun ketma-ket tatbiq etib, zⁿ ni hisoblash qoi­dasini hosil qilamiz:
zⁿ =(r(cosφ + isinφ))ⁿ ni hisoblash uchun, zⁿ =rⁿ(cosnφ + isinnφ)ⁿ tenglikni tuzish va nφ argumentni bosh argument bilan almashtirish kerak.Agar z =cosφ+isinφ bo'lsa, darajaga ko'tarish formulasi quyidagi ko'rinishni oladi: (cosφ + isinφ)ⁿ = cosnφ + isinnφ. Bu tenglik Muavr formulasi deyiladi.