6-mavzu: Kompleks sonlar. Kompleks sonlar to‘plami

Kompleks sondan ildiz chiqarish.
z kompleks sonning n-darajali ildizi deb, wⁿ= z tenglik bajariladigan har qanday w kompleks songa aytiladi (bu yerda n N). Agar z=0 bo’lsa, wⁿ= 0 (n N)
tenglik w=0 soni uchungina bajariladi.
Agar z o bo’lsa, wⁿ= z (n N) tenglik w ning n ta har xil kompleks ildizlarga ega bo’lishini isbotlaymiz.
Teorema. z=r(cosφ+isinφ) 0 kompleks soni n ta har xil w_k kompleks ildizlarga ega va bu ildizlar quidagi formula bilan toiladi:
k=0,1,2,…,n-1
Isbot. w=R(cosα+isinα) kompleks somi z=r(cosφ+isinφ) 0 sonning n-darajali ildizi bo’lsin. U holda Rⁿ (cosnφ + isinnφ)= r(cosφ+isinφ) tenglik o’rinli bo’ladi. Ikkita kompleks sonning modullari teng va argumentlari bir-biridan 2π k (bu yerda k Z) qo’shiluvchiga farq qilsagina, ular teng bo’adi. Shu sababli
R= , (1)
(2)
tengliklar bajariladi. Hosil qilingan b'u tengliklarni w ning trigonometrik shakliga qo'yamiz;
(3)
Bu yerdan ko'rinadiki, z = r(cosα + isinα) kompleks sonining bar qanday n- darajali ildizi (3) ko'rinishda bo'ladi. Aksincha, (3) ko'rinishdagi har qanday kompleks son z=r(cosφ+isinφ) kompleks sonining n- darajali il­dizi bo'ladi. Buni darajaga ko'tarish yordamida bevosita tekshirib ko'rish mumkin.
Shunday qilib, (3) ko'rinishdagi sonlar va faqat shu sonlargina z=r(cosφ+isinφ) kompleks sonining n- da­rajali ildizi bo'ladi.
Endi (3) formula z 0 sonining n ta har xil ildizini aniqlashini ko'rsatamiz. Qulaylik uchun (3) formuladagi w ning k ga bog'liq ekanligini oshkor ko'rinishda yozib olayik:
(4)
k =0, k=1, ..., k = n-1 bo'lganda bu formula yorda­mida w₀, w₁, ..., w_n-1_ sonlari hosil qilinadi. Bu sonlar ning argumentlari bir-biridan 2π ga karrali bo'lmagan qo'shiluvchi bilan farq qiladi. Shuning uchun bu sonlar orasida tenglari mavjud bo'lmaydi, ya'ni ular n tadir. Endi ixtiyoriy sonini soniga qoldiqli bo'larniz: k = n · m + s, bu yerda m Z, s {0, 1, 2, ..., n- 1}. U holda,

Bu yerdan ko'rinadiki, (4) formuladagi k ning o'rniga har qanday butun son qo'yilganda ham, w₀, w₁, .,., w_{n-1 {} sonlardan birortasi hosil bo'ladi. Teorema isbot bo'ldi.
Markazi koordinatalar boshida bo'lgan radiusli aylanani qaraymiz. W₀, W₁,..., W_n-1 nuqtalar shu aylanada yotadi va uni n ta teng yoylarga ajratadi, chunki qo'shni W_k nuqtalarning argumentlari bir-birlaridan - ga farq qiladi. Demak, bu nuqtalar aylanaga ichki chizilgan muntazam n burchakning uchlari bo'ladi (20- rasmda bu muntazam oltiburchak, chizmada n = 6₀ OW₅ = ).
Kompleks sonni trigonometrik shaklda yozing:
1. z=1-i 2. z=1-i

3. z=√3+i 4. z=-1+√3i