9-ma’ruza vektorlar nazariyasi elementlari: Tekislikda va fazoda vektor tushunchalari. Vektorning matritsaviy ko’rinishi. Vektorlar ustida arifmetik amallar, vektorni songa ko’paytirish xamda vektorlarni qo’shish va ayirish

⁹-MA’RUZA


Vektorlar nazariyasi elementlari: Tekislikda va fazoda vektor tushunchalari. Vektorning matritsaviy ko’rinishi. Vektorlar ustida arifmetik amallar, vektorni songa ko’paytirish xamda vektorlarni qo’shish va ayirish. Vektorlarning skalyar, vektor va aralash ko’paytmalari, xamda bu ko’paytmalarni determinantlar yordamida hisoblash. Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi.


Reja

1. 
   Vektorlar. Asosiy tushunchalar
   
2. 
   Vektorlar ustida chiziqli amallar
   
3. 
   Vektorlarni skalyar ko’paytirish
   
4. 
   Skalyar ko’paytmaning bir qator eng sodda xossalari
   
5. 
   Skalyar ko’paytmaning Dekart kordinatalar sistemasidagi formulasi
   

Tekislikda vektorlar

Tekislikda vektorni tartiblangan ikkita son sifatida qarash mumkin, bunda .
Tahrif. Tekislik ikki va vektorlar uchun , tenglik bajarilsa, bu vektorlar o’zaro teng deyiladi va kabi belgilanadi.
Tahrif. Tekislikda ikki va vektorlar yig’indisi quyidagi formula bilan aniqlanadi:
.
va vektorlarni tekislikda va yo’naltirilgan kesma orqali ifodalab, ular yig’indisini geometrik talqin qilish mumkin.
V

U

Keyingi chizmada tenglik o’rinli bo’lishi geometrik tarzda ko’rsatilgan.
v C
v
A u

1. 
   Vektorlar yig’indisining xossalari.
   
2. 
   Ixtiyoriy vektorlar uchun munosabat o’rinlidir.
   
3. 
   Ixtiyoriy vektorlar uchun assotsiativlik munosabatlari o’rinlidir:
   

.

4. 
   Ixtiyoriy vektor uchun munosabat o’rinli, bunda .
   
5. 
   Ixtiyoriy vektor uchun shunday vektor mavjudki, bunda munosabat bajariladi.
   
6. 
   Ixtiyoriy vektorlar uchun kommutativlik xossasi o’rinli:
   

Isboti. , , , bunda ,

a) .

b)


.
Tahrif. tekislikda ixtiyoriy vektor va skalyar son uchun ko’paytmani quyidagicha aniqlaymiz:


4.2.1-misol. Faraz qilaylik . U holda bo’ladi. CHizmada va orqali vektorlarga va vektorlar mos qo’yilgan.
A

• 
  B
  

Xossalari.
Vektorni skalyar songa ko’paytmasi

1. 
   Ixtiyoriy va uchun munosabat o’rinli.
   
2. 
   Ixtiyoriy skalyar va vektorlar uchun
   

munosabat o’rinli.

3. 
   Ixtiyoriy va uchun munosabat o’rinli.
   
4. 
   Ixtiyoriy va uchun munosabat o’rinli.
   
5. 
   Ixtiyoriy , vektor uchun munosabat o’rinli.
   

Tahrif. Xar bir vektor uchun uning normasi deb ataluvchi manfiy bo’lmagan sonni quyidagi formula bilan aniqlaymiz:
Eslatma (1). Vektorning normasi uning uzunligini bildiradi, bu esa mashhur Pifagor teoremasidan kelib chiqadi.
Eslatma (2). Faraz qilaylik, tekislikda ikkita va nuqtalar berilgan bo’lsin. va nuqtalar orasidagi masofani hisoblash uchun biz birinchi vektorni aniqlaymiz, bu
vektor ga teng.
va nuqtalar orasidagi masofa vektorning normasiga teng.


^{Eslatma (3). vektor va skalyar son uchun tenglikni} bajarilishiga ishonch hosil qilish uncha qiyin emas.
^{Tahrif. Agar vektor uchun tenglik bajarilsa, vektor birlik vektor}
deyiladi.
4.2.2-misol. vektorning normasi 5 ga teng.
4.2.3-misol. va nuqtalar orasidagi masofani hisoblaymiz:


.


4.2.4-misol. va birlik vektorlardir.
vektorning yo’nalishi birlik vektor yo’nalishi bilan bir xil.
1. 4.2.6-misol. tekislikdagi xar qanday birlik vektor koordinatalarga ega,