9-mavzu: Funksiyaning hosilasi. Hosilaning asosiy qoidalari. Asosiy elementar funksiyalarning hosilasi. Murakkab funksiyaning hosilasi. Parametrik va oshkormas funksiyalardan olingan hosila. Dars rejasi

Hosila hisoblash qoidalari
Aytaylik, va funksiyalar da berilgan bo’lib, nuqtada va hosilalarga ega bo’lsin. U holda:
1) ixtiyoriy o’zgarmas da funksiya hosilaga ega bo’lib,

bo’ladi;
2) funksiyalar yig’indisi funksiya hosilaga ega bo’lib,
bo’ladi;
3) funksiyalar ko’paytmasi funksiya hosilaga ega bo’lib,
bo’ladi;
4) funksiyalar nisbati funksiya hosilaga ega bo’lib,
bo’ladi;
Bu tasdiqlarning birini, masalan 2)-sining isbotini keltiramiz.
◄Shartga ko’ra va funksiyalar va hosilalarga ega. Unda ta’rifga binoan
,
bo’ladi. Ravshanki, funksiyaning orttirmasi


bo’lib,

bo’ladi. Keyingi tenglikdan topamiz:


Demak,
.►
Misollar. 1. bo’lsa, bo’ladi
2. bo’lsa, bo’ladi.
3. bo’lsa,

bo’ladi.³
5) Murakkab funksiyaning hosilasi. Aytaylik, bo’lib, ular yordamida murakkab funksiya tuzilgan bo’lsin.
Agar funksiya nuqtada hosilaga ega bo’lib, funksiya nuqtada hosilaga ega bo’lsa, u holda murakkab funksiya nuqtada hosilaga ega va
ya’ni bo’ladi.
◄Ravshanki, bo’lganda

bo’ladi. Ayni paytda

bo’lib, bo’ladi. Keyingi tenglikdan topamiz:


(ravshanki, da ). Demak,
.►
Funksiya differentsiali
Matematika tadbiqida asosan taqribiy hisoblashlar qo'llaniladi. Taqribiy hisoblashlarning muhum manbai bo'lib, funksiya differentsiali hisoblanadi. Biz mana shu tushuncha bilan tanishamiz.
funksiya nuqtaning biron-bir atrofida berilgan bo'lib, nuqtada uzluksiz, yani bo'lsin. Agar va deb belgilashlar kiritsak, argument orttirmasi, esa shu orttirmaga mos keluvchi funksiya orttirmasi bo'lib, yuqoridagi limit munosabatini quyidagicha yozish mumkin:

Ta'rif. Agar da, funksiya orttirmasi ni quyidagi ko'rinishda ifodalash mumkin bo'lsa,
(1)
bu yerda o'zgarmas son, , u holda funksiya nuqtada differentsiallanuvchi deyiladi va funksiyaning nuqtadagi differentsiali ga teng deb ataladi. Bu differentsial shaklida belgilanadi.⁴
Izox. funksiya uchun tenglik kabi ifoda etiladi va funksiya da, ga nisbatan yuqori tartibli cheksiz kichik funksiya deyiladi. Masalan da bo'ladi, chunki yoki da bo'ladi, sababi

tenglik o'rinlidir. Xuddi shunga o'xshash da , va x.k.
Agar (1) tenglikni ga bo'lib da limitga o'tsak quyidagini hosil qilamiz:

Bu tenglikdan, funksiyaning nuqtada hosilasi mavjud bo'lib, ekanligi kelib chiqar ekan. Demak, funksiya nuqtada differentsiallanuvchi bo'lsa, bu nuqtada funksiya hosilasi ham mavjud bo'lar ekan. Bu tasdiqning teskarisi ham o'rinli bo'lishini ko'rsatamiz.
Hosila.
Avvalgi bo‘limda biz, funksiyaning nuqtadagi grafigiga urinmasining burchak koeffitsienti
. (3.38)
ifodalanishini ta’kidlagan edik. Ushbu
(3.40)
munosabat, ayirmali nisbat deyiladi. Ko‘rdikki, ayirmali nisbatni, intervalda, tezlik bilan harakatlanuvchining o‘rtacha tezligi sifatida talqin qilishimiz mumkin, uning dagi limiti esa tezlik bilan harakatlanuvchining nuqtadagi oniy tezligini beradi.
Egri chiziq urinmasining burchak koeffitsientini topish kabi geometrik masala va harakatlanuvchining oniy tezligini tasavvur qilish, aniqlash kabi masalalar, ayirmali nisbatning limiti yordamida hal qilinadi. Natijada funksiyaning hosilasi tushunchasini aniqlashga kelinadi.
Ta’rif. Hosila. Aytaylik –soni f funksiyaning aniqlanish sohasidan olingan bo‘lsin. Agar

mavjud bo‘lsa, u holda bu limitning qiymati f funksiyaning nuqtadagi hosilasi deyiladi va kabi belgilanadi. Bu quyidagini bildiradi:
.
Agar ayirmali nisbatning limiti mavjud bo‘lsa, u holda qiymat f funksiya grafigiga nuqtadagi (yoki dagi) urunmasining burchak koeffitsienti bo‘ladi.
Agar bu limiti mavjud bo‘lmasa, u holda f funksiya grafigiga nuqtada ( da) urunma burchak koeffitsienti aniqlanmagan bo‘ladi.


1-rasm. Kesuvchi to‘g‘ri chiziqning, qiymat ga harakatlanganda
urunmani hosil qilishi.
Endi, hosila tushunchasini aniqlab olgan ekanmiz, faning dastlabki taraqqiyoti paytidan beri, bizni qiziqtirayotgan ko‘plab savollarga javob berishimiz mumkin. O‘n ettinchi asr matematiklari, egri chiziq urinmasining burchak koeffitsientini topish masalasi ustida bosh qotirganlar. Albatta, aylana uchun ba masala echimi sodda edi: to‘g‘ri chiziq urinma bo‘lishi uchun, aylana bilan bitta nuqtada uchrashishi etarli. Ammo, bu sodda hol, ko‘plab boshqa egri chiziqlar urinmasini topishga to‘g‘ri kelmasdi. Masalan, Oy o‘q parabolani bitta nuqtada kesadi, ya’ni, u bilan bitta nuqtada uchrashadi, ammo urunma bo‘lmaydi.⁵
Boshqa tomondan qarasak, to‘g‘ri chiziq, funksiya grafigiga urunmaga o‘xshaydi, ammo, bu to‘g‘ri chiziq grafikni cheksiz ko‘p marta kesadi (2 rasm).