A. M. Polatov kompyuter vositasida modellashtirish asoslari

Z = rpY + l(r). (5)
(l)-(5) tenglamalami birlashtirib, yuqoridagi farazlar asosida hosil qilingan bozor muvozanatining matematik modeliga ega bo‘lish mumkin:

• 
  = F(R),F'(R) = -,Y-G){Y) = A(r)Z = T pY + /(r) (6)
  

6. 
   matematik modelda sistemaning parametri s (oylik maosh stavkasi) va r texnik parametrlar beriladi. F, F', funksiyalar har biri o‘z argumentlarining ma’lum fimksiyalari bo‘lib, ular yuqorida bayon etilgan xossalarga ega. Ushbu berilganlarga asosan modeldan to‘rtta noma’lum miqdorlar: Y (ishiab chiqarilgan mahsulot miqdori), R (bandlik), p (mahsulot narxi) va r (daromad normasi) aniqlanadi.
   

6. 
   dan p,r,Y mikdorlarni yo‘qotib, (6) tenglamani R ga nisbatan quyida keltirilgan bitta tenglama ko‘rinishida ifodalash mumkin:
   
7. 
   

bu yerda A~^x funksiya A fimksiyaga teskari funksiyadir. (7) dan R ni qiymatini aniqlab, (6) tenglamaiardan boshqa noma'ium miqdorlarni ham aniqlash mumkin.

6. 
   tenglamani chap va o‘ng tomonlariga kiruvchi funksiyalami grafiklari tahiiliga asoslanib, bu tenglama yagona yechimga ega ekanligini ko‘rsatamiz.
   

F(R) funksiya R = 0 da nolga teng bo‘lib, R ning
monoton o‘suvchi fimksiyasidir (10.3.-rasm).
Uning monotonligi dco(F{R))/d(F(R)} = c < 1 shartdan, bu funksiya R ni o‘sishi - bilan o‘suvchi ekanligi dF(R)/dR>0 shartdan esa kelib chiqadi
Shuningdek, bu funksiya A~^] monoton funksiyaning argumentidir. A funksiyaning xossasidan (10.4-rasm) A~‘ funksiyaning R argumentga sifat jihatdan qaysi kovrinishda
b



10.3. - rasm
og‘likligini ko‘rish mumkin.
к
о я
10.4.-rasm.
Rasmdan ko‘rinib turibdiki, R > R_{ (/^ —i? ning qandaydir qiymati bo‘lib, 0 < R_x < да) shart bajarilsa, A~^l = 0. 0‘z navbatida A"¹ funksiya tenglamada I fiinksiyaning argumenti sifatida ishtirok etayapti. I funksiyaning xossasi 10.3-rasmda keltirilgan. 10.4~rasmda bu funksiyaning grafigi keltirilgan bo‘lib, и R > R} da aniqlanmagan


.<1Г<Д"ЧР(Я)-*(Р(Я>Щ







Л
к —r$F{R) / F’i R)

R

Ю.б.-rasm

О
* Й1 Л

10.5.-rasm

Yendi (3.7) tenglamaning chap tomonini ko‘rib chiqamiz. -tsF(R)/F (R) funksiya R = 0 danolgateng (F'(i?)^0 deb faraz qilinadi) (10.4-rasmga karalsin). uning R bo‘yicha birinchi tartibli hosilasi funksiyaning F'(R)>0, F"(r)<0 xossalariga asosan manfiy, ya’ni bu funksiya monoton kamayuvchidir (10.6. -rasm).

6. 
   c
   о
   hi tenglama uchun va chap kismlari grafigini (ulaming grafigi mos holda 1 va 2 egri ehiziqlar) birlashtirib (10.7-rasm), shunga ishonch hosil qilish mumkinki, boshqaruvchi parametr Z ning yetarlicha katta qiymatlarida bu egri ehiziqlar qandaydir Rq (0 < Rq < oo) nuqtada kesishadi.
   

Rc fh Я
10.7-rasm
Grafiklaming monotonligiga asosan kesishish nuqtasi yagonadir. Xususan, (6) matematik model haqikatdan ham iqtisodiyotning muvozanat holatini ifodalovchi yagona yechimga ega. (6) matematik model muvozanat holatiga yaqin bo'lgan turl

i
holatlarni qiyosiy tahlili uchun ham ishlatilishi mumkin (qanday kilib sistema muvozanat holatiga keladi yoki muvozanat holatidan chiqadi degan savollarga javob bermasdan).

2. 
   0‘zaro ta’sirlashuvchi populyatsiyalar sonini o‘sishi
   

Oldingi xususiy misol - populyatsiya soni o‘sishining abiotik omillar bilan chegaralanishidir. Evolyutsiya va ekologiya uchun yanada qiziq va muhim vaziyatlar har xil turdagi populyatsiyalaming o‘zaro ta’sirlashuvi yoki tashqi sharoitlarning o‘zgarishi davomida paydo bo‘ladi. Bu kabi vaziyatlarda N populyatsiya soni bo‘yicha populyatsiyaviy to‘lqinlar yoki hayot to‘lqinlari (S.S.Chetverikov bo‘yicha) paydo bo‘ladi.
Populyatsiyaviy to‘lqinlaming klassifikatsiyasi:

1. 
   populyatsiya sonining davriy tebranishlari (masalan, mavsumiy);
   
2. 
   yirtqich va o‘lja populyatsiyalarining o‘zaro ta’sirlashuvi hisobiga populyatsiya sonining davriy bo‘lmagan yoki davriy tebranishlari;
   
3. 
   populyatsiya sonining ortib ketishi (populyatsiya qulay sharoitlarga tushib qolganida);
   
4. 
   populyatsiya sonining jadal sur’atlar bilan qisqarishi (epifitotiyalar, talofatlar).
   

Har xil turdagi ikkita populyatsiya bir necha xil turda o‘zaro munosabatda bo‘lishi mumkin: (-, -) - raqobat, bunda ikkala populyatsiyaning yashash sharoitlari salbiy tomonga o‘zgaradi; (+,+) - simbioz; (+,-) - yirtqich-o‘ija va h.k.
Yirtqich-o‘lja” turidagi o‘zaro munosabatni o‘rganib chiqamiz. Yirtqich va o‘ljani o‘lja uchun yetarli darajadagi ozuqa solingan chekii hajmdagi muhitga joylashtirilsa, u holda ulaming soni qanday qilib o‘zgarishini kuzatamiz. x-o‘ljalar soni; и — yirtqichlar soni bo‘lsin. U holda modellashtirish uchun Lotka-Volterr tenglamalaridan foydalanish mumkin:bu yerda
xи - o‘Ija va yirtqichning chekii arealda uchrashish chastotasini xarakterlaydi;
r - o‘lja populyatsiyasining tabiiy o‘sish tezligi (yirtqichlaming ta’sirini hisobga olmagan holda);
K_max - chekii arealda o‘ljalar sonining ko‘payish chegarasi (odatda yirtqichlar soni o‘ljalaming soniga nisbatan ancha kam bo‘ladi); s - ovning muvaffaqiyatlik koeffitsiyenti;
g - yirtqichlarga , nisbatan tug‘ilish koeffitsiyenti (ularning ko‘payish tezligi nafaqat x ga, balki у ga ham bog‘liq, aniqroq qilib aytganda u xy> ga proporsional bo‘ladi); / - yirtqichlaming tabiiy o‘lish koeffitsiyenti.
Bu tenglamalaming yechimlari - yirtqich va o‘ljalar sonining to‘lqinli tebranishlaridir. Ulaming shakli va davriyligi (хо,щ) bosh!ang‘ich shartlarga hamda s, f r, g va K_max o‘zgarmaslarga bog‘liq bo‘ladi.
Bir nechta variantlar mavjud:
Muvozanatli bosqichga chiqish (10.8-rasm). Bunday vaziyat yirtqichlarga N_y=const bo‘lishi uchun N_x=const dan ko‘proq tug‘iladigan o‘ljalar kerak bo‘lishini harakterlaydi.

x.y

10.8.-rasm.



0‘ljalaming jadal sur’atlar bilan yeyilishi, so‘ngra yirtqichning ochlikdan oiishi. To‘lqinlar amplitudalar bo‘yicha, x₀ ga aylanguniga qadar “yoyilib boradi” (10.9-rasm).


Bu matematik model tajribalar asosida tasdiqlangan bo‘lib (Smit, 1976), u tabiatdagi sodda ekologik va evolyutsion vaziyatlarni o‘rganishga fizik model bo‘lib xizmat qildi. Kipriksimonlarning ikkita turi (yirtqich va o‘lja populyatsiyasi) o‘Ijalar uchun yetarli darajadagi ozuqa solingan chekli hajmdagi suyuqlikka (kolbaga) joylashtirildi. Har xil vaziyatlar kuzatilishi mumkin edi:

1. 
   A
   
   
   
   XV'
   
   
   
   
   
   10.10.-rasm. 0‘zgarmas amplitudali muvozanatli to‘lqinlar
   
   garda kolbada yirtqichlar bo‘lmasa, u holda o‘ljalax sonining o‘sishi suyuqlik hajmi bilan belgilanadigan gacha sodir boiar edi.
   
2. 
   Kolbaga yirtqich populyatsiyasi qo‘shilganda, ular o‘ljalami faol ravishda yeb, shu bilan o‘zlarining sonini ko‘paytirar edilar. Bunda o‘ljalaming soni ularning butunlay yo‘qolib ketguniga qadar tobora kamayib borar, oxir oqibat yirtqich populyatsiyasi ochlikdan o‘lar edi (10.11-rasm).Yirtqichlar uchun ov muvaffaqiyatining koeffitsiyenti (s), demak, yirtqichga nisbatan tug‘ilishlar koeffitsiyenti (g) ni pasaytirish uchun mazkur tajribada suyuqlikka sellyuloza qo‘shildi, sellyuloza eritmaning qovushqoqligini oshirar edi. Mazkur holatda barcha oijalar yeb bo‘linguniga (x=0) qadar o‘sib boruvchi amplitudali to‘lqinlar paydo bo‘lib, bunday vaziyatda yirtqichlar qirilib, nobud bo‘lishni boshlar edi (10.11-rasm).
   

10. 
    4.0‘lja populyatsiyasining tabiiy o‘sish tezligi (r) ni qisqartirish maqsadida o‘lja ozuqasi 2 baravarga qisqartirildi. Bu holatda o‘lja sonlarining ortish amplitudasi ancha kamaydi va natijada yirtqichlar sonining jadal sur’atlar bilan o‘sishi va oqibatda o‘lja sonlarining tezda kamayib ketishi kuzatilmadi. x va у lar bo‘yicha barqaror to‘lqinlar paydo bo‘ldi (10.10-rasm).JISM DEFORMATSIYALANISHIDASTURIY TA’MINOTI
    

Tolalik kompozit materiallaming chiziqli deformatsiyalanish it isalalarini chekii elementlar usulida kompyuter vositasida и lodellashtirish texnologiyasi ishlab chiqish loyihalovchiga I onstruksiyalar uchun kerak bo‘lgan mexanik va geometrik wametrlarini aniqlash imkoniyatini beradi. Bu esa yangi xususiyatlarga ega kompozit materiallami yaratish imkonini beradi. Masalani yechishda chekii elementlar usulini qo‘llash, konstruksiya mustahkamligiga ta’sir qiluvchi materiallaming ba’zi xususiyatlarini, jumladan, materialning tuzilishi, undagi tola va asosning hajmiy nisbatiari, hamda tashqi kuchlarga konstruksiya geometriyasining ta’sirini tadqiq qilishga bag‘ishlangan ilmiy izlanishlar va tajribaviy hisoblashlarning samarali usullarini rivojlantirish uchun shart-sharoitlar yaratadi.
Murakkab masalani yechishda dekompozitsiya usulidan foydalaniladi, ya’ni masala tuzilmasidan foydalanib, murakkab masalani yechimini, o‘zaro bog‘liq bo‘lsada, lekin nisbatan soddaroq bir qator masalalar yechishi bilan almashtirish imkonini beradi. Shu sababli masala uchta bir biriga bog‘liq masalalarga ajratamiladi:

1. 
   murakkab soxani chekli-elementli modelini tuzish;
   
2. 
   elastik jismning kuchlanganlik xolatini aniqlash;
   
3. 
   natijalarni vizuallashtirish.
   

Shuni ta’kidlash kerak-ki ajratilgan masalalar ham o‘ziga hos murakkablikka ega, shuning uchun ulami yechishda ham dekompozitsiya usulidan foydalaniladi.

1. 
   Murakkab soxani chekii elementli modellashtirish
   

Muayan soxani chekii elementlarga ajratish jarayoni diskretlash deb ataladi. Jismning diskret (chekli-elementli) modeli deganda quydagi to‘plam faraz qilinadi:
a = {N,M,MK,MN},
bunda