Absorbsiya və istiqamətlənmiş Conson termləri

3. Sərbəst cəbri parçalar

Bu bölmədə işin əsasını - Teorem 2.2-də müəyyən edilmiş texniki nəticənin isbatı təşkil edir.

Biz seçirik və birbaşa əsas əməliyyatları olan müxtəlif W-ni təyin edirik. , tənliklər əldə olunur.

Daha çox bərabərlik və əməliyyatlar əlavə edərək, W-nin dağıdıcı və ya birləşmə modulunu əldə edə bilərik. Bizim məqsədimiz, zəncirini çevirməkdir. kimi sonlanan, uzun zənvirvari istiqamətlənmiş termə daxildir.

Qeyd edək ki, W-nin prosesləri birinə bərabərdir, əgər hər bir element A-nın alt çoxluğudur. ün elementləri x, y, z elementləri tərəfindən sərbəst şəkildə (W-ə nisbətən) W-də üç generatorlu cəbrdir. x və z tərəfindən sərbəst şəkildə yaradılan -ün alt-cəbridir. Mümkün olan təqdirdə, elementlərini vergülsüz ifadə edəcəyik. Məsələn, (x, x, z) yerinə (xxz) yazırıq.

-də E, F-ni ikili əlaqələrlə işləyəcəyik. F (x, x), (x, z) və (z, z) cütləri tərəfindən yaradılan -nin alt cəbri olarsa, onda

 

(t üçlü (binary) birləşmədir).

Burdan əldə edə bilərik ki,

 

(t (xxz), t (xzz)): t (x, y, z) â G

üzərində qəbul edilə bilən əlaqədir. Bundan əlavə, məlum olmuşdur ki, -dən əmələ gəlmişdir ki, bu da . Biz cütünün W-nin absorpsiya nümunəsi olduğunu göstərdik. proyeksiyalarının x, z aid olmasına diqqət yetirilməlidir. Beləliklə, bütün əməliyyatlar mühüm əhəmiyyət kəsb etmədiyi üçün E və Fəlaqələri üzərində əksetdirici xassəyə malikdir. Yəni, hər üçün olur.

(p; q) cütün F-nin keçid bağlanmasına aid olduğunu göstərmək üçün və (p; q) cütün E-nin keçid bağlanmasına aid olduğunu göstərmək üçün isə yazaq. Həm , həmdə F₂ –nin qabaqcadan təyin edilməmiş ardıcıllıqlarıdır (yəni keçid və refleksivdirlər). Bunu -i yoxlamaq üçün oxucuya buraxırıq.

İndi F₂ elementlərinin sol güclərini tətbiq edirik: hər-hansı bir üçün və

Daha mürəkkəb ifadələrdə biz gücləri birinci hesablayırıq, belə ki, mənası : götürək və kimi verilmiş -ilə əvəzləyək. Görə bilərik ki, eksponensionallıq istənilən və istənilən k, l qeyri-mənfi tam ədədlər üçün və tənliklərə uyğundur.

olduqda, isbatu növbəti bölmədə olan məqalənin əsas nəticəsini göstərə bilərik.

Teorem 3.1. vardır, belə ki

Növbəti lemma Teorem 3.1-in isbatu üçün vacibdir. Hər bir endomorfizm x və z-in göndəriyi elementlər ilə təyin edilir, və əks olaraq, hər bir üçün F₂ –nin endimorfizmi vardır, və bu hər bir -i -yə göndərir (xüsusəndə və . –nin endimorfizm xüsusi adlanacaqdır, əgər

Lemma 3.2 -in hər bir xüsusi endomorfizmi və uyğundur. Belə ki verilmişdir

əgər bu zaman

əgər bu zaman

Isbat. -li x-dən a-ya və z-dən b-yə hərəkət edən -ə müvafiq olmağını göstərmək üçün -nin müvafiq olmağını vurğulamaq kifayətdir. Belə ki termi vardır :

və

termini tətbiq edərək, aşağıdakını almaq olar:

və

və ya daha aydın matris formasında:

İndi isə diqqət edək ki, sağ tərəfdən matrisin hər üç sütununda, sətrilər ilə bağlıdır. s saxladığından, tələb olunduğu kimi, .

1. 
   A 1-çəpər F(c,d) (b) An n- çəpər F(c,d)
   

Şəkil 2. Çəpərlər

Şəkil 3. A(k+1) qutu B(c;b;d).

- nın müvafiqliyini göstərmək üçün -nin ilə müvafiqliyini göstərmək kifayətdir. verək .Əvvəlki kimi vardır, belə ki

və

eyni zamanda bilir ki, Yenidən tətbiq edirik, və nətivəni matris formasında yazırıq

Diqqət yetirsək görürük ki, sol tərəfdən birinci və üçünvü sütünlarda bağlıdır, orta sütun isə bağlıdır. olduğundan nəticə etibarı ilə və buna görə də sol tərəfdəki cüt bağlı olmalıdır.Buna görə də, tələb olunduğu kimi .

Lemma 3.2 –dən istifadə edərək, çox asanlıqla göstərə bilərik ki, əgər hər hansı n bir müsbət tam ədədi üçün, .

Təsvir 3.3. n negativ olmayan bir tamsayı olsun. F(c; d) göstərilən c-dən d-ə qədən n qəfəsi aşağıdakıya müvafiq olan F₂ element ardıcıllığıdır.

n bir müsbət tam ədəd olsun. Bir n-qutusu B ardıcıllığıdır, belə ki

və

B(c; b; d) göstərilən c-dən d-yə qədər n-qutusu və

ilə n-qutusudur. Qeyd edək ki, c-dən d-ə qədər 0-qəfəsi -dir.

Növbəti üç lemma Teorem 3.1 –in sübununun əsas məğzini əhatə edir.

Şəkil 4. l-qutusu B (x;b, d(b,d)).

Lemma 3.4. Tutaq ki, -qutusudur. Bu zaman .

Isbat. Şəkil 3ə- müvafiq olaraq qutunun uclarını soldan saga kimi işarələyək.

Qeyd edək ki, və olduğundan növbəti ardıcllığı alacıyıq:

Belə də davam edərək, i üçüm 1-dən k-a qədər ardıcıllıq alacıyıq:

(və olduğundan deyə bilərik ki,

Sonda və istifadə edib, alırıq.

Lemma 3.5. Fərz edək ki, 1-qəfəs vardır. By zaman hər bir üçün l-qutusu mövcuddur.

Isbat. Götürək ki, və Hər bir üçün

və

Bəyan edirik ki, nəticə l-qutusu -di. Isbatun nəticəsinə müxtəlif və yoxlanılmasıdır. Isitnad kimi şəkil 4 istifadə oluna bilinər (diqqət yetirin ki, bəzi diaqonal tillər tamdır, sahəni tapmaq üçün isə yalnız punktirlə göstərilən tillər istifadə olunur, bu normaldır, çunki

• 
  -in altçoxluğudur).
  

Nəzərə alaraq ki, -dir, x-i x-ə və z-i a-ya göndərən endomorfizmi xüsusidir. Çox asanlıqla görmək olar ki, və olduğundan Lemma 3.2 alınır ki,

İndi isbat etmək üçün induksiya ilə davam edirik, belə ki hər bir üçün və . -dən i-nin tətbiq edilən qiymətləri üçün həm , həm də tapa bilərik.

Nəzərə alaq ki, olduğundan, induksiya bizə hər bir i üçün verəcəkdir. Punktir xəttlərinin təkrar-təkrar istifadəsi bizə hər bir i üçün və təsdiqləməyə kömək edəcəkdir. x-i -ə z-i a-ya göndərən endomorfizmi nəzərdən keçirdək. olduğundan bu xüsusi endomorfizimdir. üçün istənilən i üçün . görmək üçün götürək. Ən soldakı qutunun iki oxunu tapmaq qaldı. Əvvəlki bölməyə eyni olaraq, i-nin üzərində induksiya ilə hər bir i üçün , xüsusən də isbat etmək çox asanddır. -i əldə etmək üçün nəzərdən keçirdək (Lemma 3.2 istifadə olunub, sonra isə və nəhayət ).

Lemma 3.6. Hər bir üçün x-dən -qədər çəpərio vardır. (

İsbat. üçün x-dən J-ə qədər k-çəpərini ala bilərik. Bu məqsədlə hər bir üçün və istifadə edə bilərik.

İndi isə fərz edək ki, və k-çəpəri vardır

x-dən qədər k-çəpərini yaradaq.

İlk olaraq tərəfli 1-çəpərə Lemma 3.5, daha sonra isə Lemma 3.4 tətbiq edərək aşağıdakıları alırıq:

Yuxarıdakı oxun sağ tərəfindəki termini ilə ifadə edək. istifadə edərək aşağıdakı ifadəni alırıq:

üçün alırıq.

üçün , və ardıcıllıqlarını nəzərdən keçirdək. Çox asanlıqla növbəti ifadəni yoxlaya bilərik

Çəpərdəki elementini nəzərdə keçirdək. x-dən -ə qədər çəpərimiz vardır.

Teorem 3.1 isbatı verilə biilinər.

Teorem (Teorem 3.1). olan vardır.

İsbat. Lemma 3.6-da götürərək 1-çəpəri -i alırıq. Lemma 3.4 və 3.5-i tətbiq edərək və nəzərə alaraq ki, -dir, aşaöıdakı ifadəni almaq olar