Akademik litseylarda sinfdan tashqari va fakultativ mashg‘ulotlar, ularning tashkiliy shakllari, maqsad va vazifalari, o‘tkazish metodikasi. Sinfdan va al tashkari ishlar uch XIL buladi

Ekstremum mavjudligining yetarli shartlari.
Teorema: f(x) funksiya x₁ kritik nuqtani o’z ichiga olgan birorta intervalda uzluksiz va shu intervalning hamma nuqtalarida differensiallanuvchi bo’lsin.

1. Agar shu nuqtaning chap tomondan o’ng tomonga o’tishda hosilaning ishorasi «+» dan «-» ga o’zgarsa, funksiya x=x₁ nuqtada maksimumga ega bo’ladi.

   
   

2. Agar chapdan x₁ nuqta orqali o’ngga o’tishda hosilaning ishorasi «-« dan «+» ga o’zgarsa, funksiya shu nuqtada minimumga ega bo’ladi.

   
   

Isboti: 1) Hosilaning ishorasi «+» dan «-» ga o’zgarsin, ya’ni x<x₁ , da f ^|(x)>0 x>x₁ , da f ^|(x)<0 bo’lsin deb faraz qilamiz. f(x) - f(x₁) ayirmaga Lagranj teoremasini qo’llaymiz: f(x) - f(x₁) = f ^|()(x-x₁), x<<x₁ x<x₁ bo’lsin.

U holda: <x₁, f ^|()>0, f ^|()(x-x₁) < 0 bo’ladi. Demak, f(x) - f(x₁) < 0, f(x) < f(x₁) x>x₁ bo’lsin. U holda: >x₁, f ^|()<0, f ^|()(x-x₁) < 0 bo’ladi. Demak, f(x) - f(x₁) < 0, f(x) < f(x₁).
Bulardan, x₁ nuqtada f(x) funksiya maksimumga ega ekanligi kelib chiqadi.
Differensiallanuvchi funksiyani birinchi hosila yordami bilan maksimum va minimumga tekshirish.
Funksiyani birinchi hosila yordami bilan maksimum va minimumga tekshirish quyidagi sxema bo’yicha bajariladi:

1. Funksiyaning birinchi hosilasi f ^|(x) ni topamiz.

   
   

2. Argument x ning kritik qiymatlarini topamiz, buning uchun:

   
   

   1. birinchi hosilani nolga tenglaymiz va f ^|(x)=0 tenglamaning haqiqiy

      
      

ildizlarini topamiz.

2. 
   
   x ning f ^|(x) hosila uzilishga ega bo’ladigan qiymatlarini topamiz.
   

1. Hosilaning kritik nuqtadan chapdagi va o’ngdagi f(x) funksiyaning qiymatini hisoblaymiz.

   
   

Natijada quyidagi sxema hosil bo’ladi:

Kritik nuqta x1 dan o’tishda f ^|(x) hosilaning ishorasi			Kritik nuqtaning xarakteri
x<x1	x=x1	x>x1
+	f^|(x1)=0 yoki uziluvchi	_		Maksimum nuqtasi
_	f ^|(x1)=0 yoki uziluvchi	+		Minimum nuqtasi
+	f^|(x1)=0 yoki uziluvchi	+		Funksiya faqat o’sadi
_	f^|(x1)=0 yoki uziluvchi	_		Funksiya faqat kamayadi

Missolar. 1) f(x)=3/4 x⁴ - x³ - 9x² + 7

Yechish: funksiya (-; ) intervalda aniqlangan.
Uning hosilasini olamiz. f ^|(x) = 3x³ - 3x² - 18x = 3x(x² - x - 6) = 3x(x+2)(x-3) f ^|(x) = 0,3x(x+2)(x-3)=0
3x=0, x₁=0 x+2=0, x₂=-2 x-3=0, x₃=3
Demak, funksiya x₁=-2, x₂=0, x₃=3 kritik nuqtalarga ega.
Kritik nuqta atrofida funksiya hosilasining ishorasini tekshiramiz.

Intervallar	x<x1	x1<x<x2	x2<x<x3	x3<x
f^|(x) ishorasi	-	+	-	+

Demak, x₁ =-2 nuqtada funksiya minimumga erishadi.

ymin |x=-2=-9 funksiya x₂ = 0 nuqtada maksimumga erishadi.

ymax |x=0=7 funksiya x₃ = 3 nuqtada minimumga erishadi.

ymin |x=3=-40 .
http://hozir.org