Algebra va analiz asoslari

8
9
Qanday xulosaga keldingiz?
2-misol.
Populatsiyadagi sichqonlar soni haftalar kechishi bilan 
quyidagicha o‘zgaradi (8-rasm):
8-rasm.
3- va 6- hafta oralig‘ida sichqonlar soni o‘rtacha qanday o‘zgargan?
7 haftalik vaqt oralig‘da-chi? 

Sichqonlar populatsiyasining o‘sish tezligi 
( 240 110)ta sichqon
sichqon
43
(6 3)ta hafta
hafta
−
≈
−
, ya’ni 3- va 6- hafta oralig‘ida 
sichqonlar soni haftasiga o‘rtacha 43 taga ko‘paygan.
Xuddi shunday 7 haftada 
(315 50)ta sichqon
sichqon
38
(7 0)ta hafta
hafta
−
≈
−
. 
7 hafta oralig‘ida sichqonlar soni haftasiga o‘rtacha 38 taga ko‘paygan. 
▲
Umumiy holda: 
x
miqdor 
 a
dan 
b
gacha o‘zgarganda 
y=f
(
x
) miqdor 
o‘zgarishining 
o‘rtacha tezligi
( )
( )
f b
f a
b a
−
−
orttirmalar nisbatiga teng, bu yerda 
f 
(
b
)
 – f 
(
a
)
 – 
funksiya orttirmasi,
b – a
esa argument orttirmasi. 
h
=
b – a 
deb belgilasak, o‘rtacha tezlik
(
)
( )
f a h
f a
h
+
−
ko‘rinishni oladi.

---

10
11
(
)
( )
f a h
f a
h
+
−
kasr suratini 
y = f 
(
x
) 
funksiyaning
argumenti
x
ning
h
orttirmasiga
mos keluvchi 
orttirmasi
deb atash qabul qilingan. 
Kasrning o‘zi esa 
ayirmali nisbat
deb atashadi.
Mashqlar 
6.
Nuqtaning to‘g‘ri chiziq bo‘ylab yurgan yo‘li vaqtga qanday bog‘lan-
ganligi 9-rasmdagi grafikda tasvirlangan. 
9-rasm.
Nuqtaning
a) dastlabki 4 sekund;
b) so‘nggi 4 sekund; 
c) 8 sekund mobaynidagi o‘rtacha tezligini toping. 
7.
1) Dalaga turli miqdordagi (dozadagi) dori bilan ishlov berilganda 1 m
2
da mavjud bo‘lgan zararli hasharotlar sonining o‘zgarishi 
10-rasmdagi
 
grafikda ko‘rsatilgan.

---

10
11
10-rasm.
a) 1) doza 0 grammdan 10 grammgacha oshirilsa; 2) 4 grammdan
7 gramm gacha oshirilsa, 1 m
2
da mavjud bo‘lgan zararli hasharotlar soni-
ning o‘zgarishini toping.
b) doza 10 grammdan 14 grammgacha oshirilsa, qanday hodisa ro‘y
beradi? 
2) Moddiy nuqtaning to‘g‘ri chiziq bo‘yicha harakat qonuni 
s
(
t
) ning 
grafigi rasmda berilgan. 
a) s(2), s(3), s(5), s(7) sonlar nechaga teng?
b) Qaysi oraliqlarda funksiya o‘suvchi?
c) Qaysi oraliqda funksiya kamayuvchi?
d) s(3)–s(1), s(5)–s(4), s(7)–s(6), s(8)–s(6) orttirmalarni hisoblang.

---

12
13
3–4
LIMIT HAQIDA TUSHUNCHA
x
ning qiymatlari 2 dan kichik bo‘lib, 2 ga yaqinlasha borganda 
f
(
x
)
=x
2
funksiyaning qiymatlari jadvalini qaraylik:
x
1
1,9
1,99
1,999
1,9999
f
(
x
)
1
3,61
3,9601
≈ 3,996 00 ≈ 3,999 60
Jadvaldan ko‘rinib turibdiki, 
x 
ning qiymatlari 2 ga qancha yaqin bo‘la versa 
(
yaqinlashsa
), 
f
(
x
) funksiyaning mos qiymatlari ham 4 soniga yaqinlasha- 
veradi. 
Bunday holatda 
x
argument (o‘zgaruvchi) 2 ga 
chapdan yaqinlash- 
ganda f
(
x
) ning qiymatlari 4 soniga 
yaqinlashadi
deymiz.
Endi 
x 
ning qiymatlari 2 dan katta bo‘lib, 2 ga yaqinlasha borganida 
f
(
x
)
=x
2
funksiyaning qiymatlari jadvalini qaraylik:
x
3
2,1
2,01
2,001
2,0001
f
(
x
)
9
4,41
4,0401
≈ 4,004 00 ≈ 4,000 40
Bunday holatda 
x
argument 2 ga 
o‘ngdan yaqinlashganda, f
(
x
) funksiya 
qiymatlari 4 soniga 
yaqinlashadi
deymiz.
Yuqoridagi ikki holatni umumlashtirib, 
x
argument 2 ga 
yaqinlashganda, 
f
(
x
) ning qiymatlari 4 soniga 
yaqinlashadi
deymiz va buni quyidagicha 
yozamiz:
2
2
lim
4.
x
x
→
=
Bu yozuv shunday o‘qiladi: 
x
argument 2 ga yaqinlashganda
, f
(
x
) = 
x
2 
funksiyaning 
limiti
4 ga teng.
Umumiy holda 
funksiya limiti
tushunchasiga quyidagicha yondashi- 
ladi:
x≠a
bo‘lib, uning qiymatlari
a
soniga yaqinlashsa
, f
(
x
) ning mos 
qiymatlari 
A
soniga 
yaqinlashsin. 
Bu holda 
A
sonni 
x a
ga 
yaqinlashganda
f
(
x
) funk siya ning 
limiti
deyiladi va bunday belgilanadi:
lim ( )
.
x a
f x
A
→
=
Ayrim hollarda mazkur holatni 
x 
ning qiymatlari
 a
ga 
intilganda
 f
(
x
) 
funksiya 
A
ga 
intiladi,
deymiz. 

---

12
13
lim ( )
.
x a
f x
A
→
=
yozuv o‘rniga
x
→
a
da 
f
(
x
)
→
A
yozuv ham qo‘llaniladi. 
Eslatma.
x 
ning qiymati 
a 
ga 
intilganda
x ≠ a 
sharti bajarilishining 
muhimligini aytib o‘tish joiz.
Misol.
x
→
0 bo‘lganda 
2
5
( )
x x
f x
x
+
=
funksiyaning limitini toping.

x ≠ 
0
 
sharti bajarilmasin, ya’ni 
x=
0
 
bo‘lsin. 
x
=0 qiymatni 
f
(
x
) ga bevosita 
qo‘yib ko‘rsak, 
0
0
ko‘rinishdagi 
aniqmaslikka
ega bo‘lamiz. 
Boshqa tomondan, 
(5
)
( )
x
x
f x
x
+
=
bo‘lgani uchun bu funksiya ushbu
5
, agar
0 bo‘lsa
( )
aniqlanmagan, agar
0 bo‘lsa,
x
x
f x
x
+
≠

= 
≠

=
ko‘rinishni oladi. 
y=f
(
x
) funksiyaning grafigi (0; 5) koordinatali nuqtasi “olib tashlangan”
y=x + 
5 to‘g‘ri chiziq ko‘rinishida bo‘ladi (11-rasm):
11-rasm.
(0; 5) koordinatali nuqta 
y = f
(
x
) funksiyaning 
uzilish nuqtasi
deyiladi.
Ko‘rinib turibdiki, bu nuqtadan farqli bo‘lgan nuqtalarda 
x
ning
qiymatlari 0 ga 
yaqinlashganda
f
(
x
) funksiyaning mos qiymatlari 5 ga 
yaqinlashadi, ya’ni uning
limiti
mavjud: 
2
0
5
lim
5
x
x x
x
→
+
=
. 
▲

---

14
15
Amalda, funksiya limitini topish uchun, lozim bo‘lsa, tegishli 
soddalashtirishlarni bajarish maqsadga muvofiq. 
1-misol.
Limitlarni hisoblang:
a) 
2
2
lim
x
x
→
; b) 
2
0
3
lim
x
x
x
x
→
+
; c) 
2
3
9
lim
3
x
x
x
→
−
−
.

 
a) 
x
ning qiymatlari 2 ga 
yaqinlashganda
x
2
ning qiymatlari 4 ga 
yaqin lashadi, ya’ni
2
2
lim
4
x
x
→
=
.
b) 
x 
≠ 0 bo‘lgani uchun
2
0
0
0
(
3)
3
lim
lim
lim (x 3) 3
x
x
x
x x
x
x
x
x
→
→
→
+
+
=
=
+
=
x
.
c) 
x 
≠ 3 bo‘lgani uchun
2
3
3
3
(
3)(
3)
9
lim
lim
lim (
3) 6
3
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
→
→
→
+
−
− =
=
+
=
−
−
. 
▲
Mashqlar 
Limitni hisoblang (
8–11
): 
8.
a) 
3
1
4
a lim (
4) b lim (5 2 ) c lim (3
1)
x
x
x
x
x
x
→
→−
→
+
−
−
3
1
4
a lim (
4) b lim (5 2 ) c lim (3
1)
x
x
x
x
x
x
→
→−
→
+
−
−
; b) 
3
1
4
a lim (
4) b lim (5 2 ) c lim (3
1)
x
x
x
x
x
x
→
→−
→
+
−
−
; c) 
3
1
4
a lim (
4) b lim (5 2 ) c lim (3
1)
x
x
x
x
x
x
→
→−
→
+
−
−
d)
2
2
2
2
0
0
d lim (5
3
2) e lim (1
) f lim (
5)
x
h
x
x
x
h
h
x
→
→
→
−
+
−
+
; e)
2
2
2
2
0
0
d lim (5
3
2) e lim (1
) f lim (
5)
x
h
x
x
x
h
h
x
→
→
→
−
+
−
+
; f)
2
2
2
2
0
0
d lim (5
3
2) e lim (1
) f lim (
5)
x
h
x
x
x
h
h
x
→
→
→
−
+
−
+
.
9.
a)
5
2
0
a lim5 b lim7 c lim ,
x
h
x
c
→
→
→
; b)
5
2
0
a lim5 b lim7 c lim ,
x
h
x
c
→
→
→
; c)
5
2
0
a lim5 b lim7 c lim ,
x
h
x
c
→
→
→
c 
– o‘zgarmas son.
10. 
a) 
2
2
1
2
0
0
3
5
1
a lim
b
lim
c lim
d lim
1
x
h
x
x
x
x
h
h
x
x
x
h
x
x
→
→
→
→
−
+
−
+
; b) 
2
2
1
2
0
0
3
5
1
a lim
b
lim
c lim
d lim
1
x
h
x
x
x
x
h
h
x
x
x
h
x
x
→
→
→
→
−
+
−
+
; c) 
2
2
1
2
0
0
3
5
1
a lim
b
lim
c lim
d lim
1
x
h
x
x
x
x
h
h
x
x
x
h
x
x
→
→
→
→
−
+
−
+
; d) 
2
2
1
2
0
0
3
5
1
a lim
b
lim
c lim
d lim
1
x
h
x
x
x
x
h
h
x
x
x
h
x
x
→
→
→
→
−
+
−
+
.
11.
a) 
2
2
2
0
0
0
3
5
2
a lim
b
lim
c lim
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
→
→
→
−
−
−
; b) 
2
2
2
0
0
0
3
5
2
a lim
b
lim
c lim
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
→
→
→
−
−
−
; c) 
2
2
2
0
0
0
3
5
2
a lim
b
lim
c lim
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
→
→
→
−
−
−
.
d) 
2
2
3
0
0
0
2
6
3
4
8
d lim
e
lim
f lim
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
→
→
→
+
−
−
; e)
2
2
3
0
0
0
2
6
3
4
8
d lim
e
lim
f lim
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
→
→
→
+
−
−
; f)
2
2
3
0
0
0
2
6
3
4
8
d lim
e
lim
f lim
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
→
→
→
+
−
−
;
g) 
2
2
2
1
2
3
2
6
g lim
h
lim
i lim
1
2
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
→
→
→
−
−
− −
−
−
−
; h) 
2
2
2
1
2
3
2
6
g lim
h
lim
i lim
1
2
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
→
→
→
−
−
− −
−
−
−
; i) 
2
2
2
1
2
3
2
6
g lim
h
lim
i lim
1
2
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
→
→
→
−
−
− −
−
−
−
.
3
1
4
a lim (
4) b lim (5 2 ) c lim (3
1)
x
x
x
x
x
x
→
→−
→
+
−
−
3
1
4
a lim (
4) b lim (5 2 ) c lim (3
1)
x
x
x
x
x
x
→
→−
→
+
−
−
2
2
2
2
0
0
d lim (5
3
2) e lim (1
) f lim (
5)
x
h
x
x
x
h
h
x
→
→
→
−
+
−
+
2
2
2
2
0
0
d lim (5
3
2) e lim (1
) f lim (
5)
x
h
x
x
x
h
h
x
→
→
→
−
+
−
+
2
2
2
2
0
0
d lim (5
3
2) e lim (1
) f lim (
5)
x
h
x
x
x
h
h
x
→
→
→
−
+
−
+
5
2
0
a lim5 b lim7 c lim ,
x
h
x
c
→
→
→
5
2
0
a lim5 b lim7 c lim ,
x
h
x
c
→
→
→
5
2
0
a lim5 b lim7 c lim ,
x
h
x
c
→
→
→

---