Ko`rib chiqiladigan asosiy savollar: Unitar va Evklid fazosida operatorlar.
Unitar va ortogonal operatorlar.
Mavzuga oid tayanch tushuncha va iboralar: Unitar fazo, normal operator, musbat operator, qo`shma operator, ortogonal operator, unitar operator, maxsus operatorning trigonametrik shakli.
Mavzuda ko`rib chiqiladigan muammolar: Operatorlarni har xil turlarga ajratish. Qaysi turga mansub bo`lish kriteriysini aniqlash. Operatorni ko`paytma sifatida aniqlash.
1-savol bo`yicha dars maqsadi. Evklid fazosida me`yoriy (normal), qo`shma operatorlarni tushuntirish va xossalarini o`tgatish.
Identiv o`quv maqsadlari: Me`yoriy(normal) operatorni va uning xossalarini o`rganib oladi va xossalarini o`zlashtirib oladi.
Qo`shma va o`z-o`ziga qo`shma operatorni o`rganib oladi va xossalarini o`zlashtirib oladi.
1-savol bayoni: Faraz qilaylik, Evklid fazosi bo`lsin . Bu fazda
ikkita vektorni olib qaraylik . Bu vektorlarda
(1)
fazoning bazisi. Bu fazoda bichiziqli funksiyani olib qaraylik va uni quyidagicha yozamiz.
(2)
Bu (2) summani boshqacha ko`rinishda ham yozish mumkin. Buni biz quyidagicha yozamiz
(3)
(3) dagi qavslarni bizlar mos ravishda bilan belgilasak,
(4)
desak (3) niquyidagicha yozish mumkin.
(5)
- kompleks son - ga qo`shma.
Agar (5) dagi larni biror vektorning koordinatalari deb qarasak, ya’ni
(6)
u holda (5) ni biz quyidagicha yozishimiz mumkin.
(7)
vektor vektordan hosil bo`lgandir. Uni operator deb qabul qilamiz, ya’ni
Buni e’tiborga olsak (7) ni bunday yozamiz.
(8)
Bu (8) dan ko`rinadiki E vklid fazosida har qanday bichiziqli shakl(forma)ga qandaydir operator to’gri keladi. Buni teskarisi, ya’ni har qanday operatorga chiziqli funktsiya mos keladi deyish ham mumkin. Bu moslik bir qiymatlidir. Xuddi yuqoridagidek, biz quyidagicha hosil qilishimiz mumkin.
(9)
operator operatordan farq qilishi mumkin. Ularning matrisalari bir- biridan transpozitsiyalash tufayli hosil bo`ladi.
TA’RIF. Agar (Ax, y)=(x, A*y) (10) shart bajarilsa, u holda A va A* operatorlar Evklid fazosida bir-biriga qo`shma operatorlar deyiladi. Qo`shma operatorlar xuddi kompleks qo`shma sonlarga o`xshashdir.
Teorema. Evklid fazosida har bir A operatorga bitta qo`shma operator mos keladi. Bu teoremaning isbotini biz yuqorida (8), (9) larni keltirib chiqarishda qayd qilib o`tdik. Endi (8) va (9) dan quyidagini yozamiz.
qo`shma operatorlar quyidagi xossalarga ega.
birlik operator
-dagi , kompleks sonlar quyidagicha. ,
operator va uning qo`shmasi orasida
(11) shartni qanoatlantiruvchi operator ham mavjud. Bunday operatorlar o`z-o`ziga qo`shma deyiladi. Yoki Ermit operatorlari ham deyiladi. Haqiqiy Evklid fazosining o`z-o`ziga qo`shma operatorlari simmetrik operator deyiladi.
