Algebraik amallarning xossalari

2) Kommutativlik xossasi.
Biz yuqorida assotsiativlik xossasi o‘rinli bo‘lgan *-algebraik amal vositasida hosil qilingan ifodalarda qavs ishlatmaslik mumkin ekanligini ko‘rdik.
Ammo bunday ifodalarda komponentalarning o‘rnini almashtirish umuman olganda mumkin emas, shuning uchun
ifoda bilan ifodalarni ayni bir xil ifodalar deb bo‘lmaydi.
Bu ifodalar ayniy ifodalar bo‘lishi uchun -algebraik amal assotsiativlik va kommutativlik xossalariga bo‘ysunishi lozim
Ta’rif. Berilgan to‘plamning ixtiyoriy ikkita va elementlari uchun *-algebraik amalda (2) tenglik bajarilsa *-algebraik amal kommutativ deyiladi.
Kommutativlik xossasiga ega bo‘lgan *-algebraik amal vositasida hosil bo‘lgan ifoda bilan ifoda bir xil natijaga ega bo‘ladi, bu yerda . natural sonlar to‘plamida qo‘shish amali uchun kommutativlik amali o‘rinli

Natural sonlar to‘plamida ko‘paytirish amali uchun kommutativlik xossasi o‘rinli

Haqiqiy sonlar to‘plami da qo‘shish va ko‘paytirish amallari kommutativdir.
Butun sonlar to‘plami da ayirish amali kommutativlik xossasiga bo‘ysunmaydi.

Musbat ratsional sonlar to‘plami da bo‘lish amali uchun kommutativlik xossasi o‘rinli emas

Agar *- algebraik amal assotsiativlik va kommutativlik xossalariga bo‘ysunsa juft, jufti bilan har xil bo‘lgan komponetlar uchun *- algebraik amalni o‘zida saqlovchi har bir ifodani ko‘rinishda ifodalash mumkin.
Assotsiativlik va kommutativlik xossalari o‘rinli bo‘lgan *- algebraik amal darajaga ko‘tarish amali bo‘lsin
Quyidagi xossani isbot qilamiz

haqiqatan ham


Demak,

Agar *-algebraik amal sonlarni qo‘shish amali bo‘lsa

agar * ko‘paytirish amali bo‘lsa o‘rinli bo‘ladi.
3) Distributivlik xossasi.
Yuqorida biz bitta algebraik amalga nisbatan assotsiativlik va distributivlik xossalarini ko‘rdik, ushbu xossalar o‘rinli bo‘lgan algebraik amalni o‘zida saqlovchi ifodalarda shakl almashtirishlarni amalga oshirdik. Endi esa ikkita algebraik amal bilan bog‘langan ifodalarni ko‘ramiz.
Faraz qilaylik bizga to‘plam va unda *, -algebraik amallar berilgan bo‘lsin.
Agar *, amallar biror munosabatlar bilan bog‘langan bo‘lsa elementlardan tuzilgan ifodalar ustida shakl almashtirish mumkin bo‘ladi.
Ko‘p hollarda distributivlik xossasi bilan bog‘langan ikkita algebraik amal bilan ish ko‘radilar.
Ta’rif. to‘plamidan olingan ixtiyoriy elementlar uchun

munosabatlar o‘rinli bo‘lsa * algebraik amal amalga nisbatan distributivlik xossasiga bo‘ysunadi deyiladi.