Аллакова Дилбар
Yüklə 1,93 Mb.
|
|
МАВЗУНИ МУСТАЩКАМЛАШ УЧУН САВОЛЛАР
а). n та номалумли m та чизи=ли тенгламалардан тузилган системани ёзинг. б). +андай чизи=ли тенгламалар системасига биргаликдаги система дейилади? в). Ани= ва ани=мас, зиддиятли системалар деб =андай системаларга айтилади? г). Матрица деганда нимани тушунасиз? е). Эквивалент (тенг кучли) чизи=ли тенгламалар системалари деб =андай системаларга айтилади? ж). Чизи=ли тенгламалар системасидаги элементар алмаштиришлар деб нимага айтилади? з). Бир жинсли чизи=ли тенгламалар системаси деб =андай системага айтилади? 12-МАЪРУЗА МАВЗУ : n-ЫЛЧОВЛИ АРИФМЕТИК ФАЗО . ЧИЗИ+ЛИ БО/ЛАНГАН ВА ЧИЗИ+ЛИ БО/ЛАНМАГАН ВЕКТОРЛАР СИСТЕМАЛАРИ. РЕЖА: 1. n -ылчовли арифметик фазонинг таърифи; 2. n-ылчовли арифметик фазонинг хоссалари; 3. Чизи=ли бо\ланган ва чизи=ли бо\ланмаган векторлар системалари; 4. Чизи=ли бо\ланмаган векторлар системаларининг хоссалари; АДАБИЁТЛАР [1,2,3]. 1. n та тартибланган ща=и=ий сонлар 1, 2 ,..., n дан тузилган (1,2, ...,n) n-ликка n-ылчовли вектор деб айтилади ва 1, 2 , ..., n ларни векторнинг координаталари дейилади. Барча мумкин былган n -ылчовли векторлар тыпламини Rn билан белгилаймиз. Rn даги a=(1, 2, . . . ,n) ва b=(1 ,2 , . . . , n ) элементларнинг тенглиги, йи\индисини ва R дан олинган сонига кыпайтмасини =уйидагича ани=лаймиз: 1). (а=b) ( 11 , 22 , . . . , nn ) ; 2). a+b = (1+1 , 2+2 , . . . , n+n ) ; 3). a= ( 1, 2, ... , n). Тушунарлики, у щолда a,b Rn учун a+b Rn щамда R, aRn учун aR бажарилади. сонига кыпайтириш амали Rn даги унар алгебраик амал былиб, уни биз езувда =улайлик учун билан белгилаймиз. (0 ,0, . . . , 0) вектор нол вектор дейилади ва билан белгиланади. 2) га асосан а+ = + а = а былгани учун вектор =ышиш амалига нисбатан нейтрал элемент былади . (- 1) (1, 2, . . . ,n) векторга а= (1, 2, . . . ,n) га =арама- карши вектор дейилади . а+(-1) а= былгани учун (- 1) а= -а билан белгиланади . 1- таъриф. Rn Тыпламга унда ани=ланган =ышиш ва сонга кыпайтириш амалига нисбатан (яъни Rn ; + , алгебрага ) n-ылчовли векторларнинг арифметик фазоси (ёки =ис=ача n- ылчовли арифметик фазо ) дейилади. Биз уни Rn билан белгилаймиз. Векторларни =ышиш ва сонга кыпайтириш амалларига арифметик фазо-нинг асосий амаллари дейилади. 2. Rn = Rn ; + , фазонинг асосий амаллари =уйидаги хоссаларга эга: 1. Rn ; + , - алгебра аддитив Абель группаси . 2. Cонга кыпайтириш амали ассоциатив: яъни R, a Rn a= ( a). 3. Сонга кыпайтириш =ышиш амалига нисбатан диструбитив : R, a,b Rn (a+b)= a+ b . 4. Векторга кыпайтириш сонларни =ышишга нисбатан дистрибутив, яъни R, a Rn + a=a + a . 5. a Rn 1 a= a. хоссаларнинг ыринли эканлигига бевосита текшириб кыриш йыли билан ишонч щосил =илиш мумкин. Уни биз талабаларга щавола =иламиз. Rn ; + ,- -группага Rn-арифметик фазонинг аддитив группаси дейилади. 3. Бизга Rn=V фазонинг a1, a2 , . . . , am векторлари системаси берилган былсин. 1a1+ 2 a2 + . . . + m am , ( 1 , 2 ,. . . , m R) ифодага a1, a2 , . . . , am векторлар системасининг чизи=ли комбинацияси дейилади. Бу ердаги 1 , 2 , . . , m ларга чизи=ли комбинациянинг коэффи-циентлари дейилади. Агар коэффициентлардан бирортаси нолдан фар=ли былса, тривиал былмаган, акс щолда, яъни барча коэффици-ентлар нолга тенг былса, тривиал чизи=ли комбинация дейилади . a1, a2 , . . . , am векторларнинг барча мумкин былган чизи=ли комбинацияла-ридан тызилган L Тыпламга шу векторланинг чизи=ли =оби\и дейилади. Демак,L=L(a1, a2 , . . . , am )={ 1a1+ 2 a2 + . . . + m am 1 , 2 ,. . . , m R }. Осонлик билан кыриш мумкинки, чизи=ли =оби= векторларни =ышиш, айириш ва сонига кыпайтириш амалларига нисбатан ёпи=дир. 2- таъриф. Агар щеч былмаганда бирортаси нолдан фар=ли 1, 2, ..., m сонлари мавжуд былиб 1a1 + 2 a2+ . . . + m am = 0 (1) тенглик бажарилса, у щолда a1, a2 , . . . , am (2) векторлар системаси чизи=ли бо\ланган дейилади. Агарда (1) тенглик фа=ат ва фа=ат 1 = 2 =. . . = m = 0 былгандагина бажарилса, (2) векторлар системасига чизи=ли бо\ланмаган система дейилади. Масалан: e1=(1, 0 , 0 , . . . , 0 ), e2 =(0, 1 , 0, . . . , 0) , . . . , en =(0, 0, 0 , . . . , 1) бирлик векторлар системаси чизи=ли бо\ланмагандир. Ща=икатдан щам, 1e1+ 2 e2 + . . . + n en = 0 дан ( 1, 2 , . . . , m )= 0 ёки 1 = 2 =. . . = m = 0 келиб чи=ади. 4. Х о с с а л а р и . 1. Нол вектор ёки ызаро пропорционал векторлар =атнашган щар =андай векторлар системаси чизи=ли бо\лангандир. Ща=и=атдан щам, агар 0, a2 , ..., am векторлар системаси берилган былса, у щолда 1 0, 2 =. . . = m = 0 деб олсак, 10+ 2 a2 + . . . + m am = 0 тенглик ыринли былади. a1=a2 былса( 0), щам шундай исботланади. 2. a1, a2 , . . . , am (a1 0) векторлар системаси чизи=ли бо\ланган былиши учун ундаги бирорта векторнинг =олган векторнинг чизи=ли комбинацияси-дан иборат былиши зарур ва етарлидир. Исботи. Зарурлиги. a1, a2 , . . . , am (a1 0) система чизи=ли бо\ланган былсин. У щолда 1a1 + 2 a2+ . . . + m am = 0 (3) тенглик бажарилади ва бунда 1, 2 , . . . , m ларнинг щеч былмаса бирортаси нолдан фар=ли. Масалан, k 0 ва k шу шартни =аноатлантирувчи энг катта индекс былсин. Бу ерда k>1, акс щолда, 2 =. . . = m = 0 деб олсак, 1a1 = 0 дан 1= 0 келиб чи=ади. (3) ни ak га нисбатан ечсак: ak =(-1 /k)a1+(-2 /k)a2+ . . . +(-k-1 /k)ak-1+ (-k+1 /k)ak+1+ . . . +(-m /k)a m ёки 's =(-s /k) деб белгилаб олсак, ak ='1 a1+'2 a2+ . . . +'k-1 ak-1 га эга быламиз. Етарли шарти. Фараз этайлик as=1 a1+2 a2+ . . . +s-1 as-1 + s+1 as+1+ . . . +m am былсин. У щолда бу тенгликни 1 a1+2 a2+ . . . +s-1 as-1 + s as +s+1 as+1+ . . . +m am = 0 кыринишда ёзиш мумкин . Бу ерда s = - 1 0 был-гани учун a1, a2 , . . . , am векторлар системаси чизи=ли бо\лангандир. 3. Агар берилган системанинг бирор =исмий системаси чизи=ли бо\ланган былса, шу системанинг ызи щам чизи=ли бо\ланган былади. Исботи. a1, a2 , . . . , ak векторлар системалари чизи=ли бо\ланган былиб a1, a2 , . . . , ak , ak+1, . . . , am системанинг =исми былсин. У щолда щеч былмаса бирортаси нолдан фар=ли 1, 2 , . . . , k сонлари мавжуд былиб 1 a1+2 a2+ + . . . + k ak= 0 былади. Бундан 1 a1+2 a2+ . . . +k ak + 0 ak+1+ . . . +0 am= 0 ва 1, 2 , . . . , k, 0, ... , 0 сонларининг щеч былмаса бирортаси нолдан фар=ли. Демак, таърифга асосан a1, a2 , . . . , ak , ak+1, . . . , am векторлар системаси чизи=ли бо\ланган. Натижа. Агар берилган векторлар системаси чизи=ли бо\ланмаган был-са, унинг ихтиёрий =исмий системаси щам чизи=ли бо\ланмагандир. 4. Агар a1 , a2 , . . . , am векторлар системаси чизи=ли бо\ланмаган былиб a1 , a2 , . . . , a m , v (4) система чизи=ли бо\ланган былса , у щолда v вектор a1 , a2 , . . . , a m (5) системадаги векторлар ор=али ягона усулда чизи=ли ифодаланади. Исботи. (4) система чизи=ли бо\ланган былганлиги сабабли щеч былмаса бирортаси нолдан фар=ли былган 1, 2 , . . . , m , сонлари мавжуд былиб 1 a1+2 a2+ . . . +m am + v = 0 (6) тенглик бажарилади. Бу ерда ерда 0, акс щолда (6)дан a11 +2 a2+ . . . +m am = 0 тенглик 1, 2 , . . . , m ларнинг бирортаси нолдан фар=ли былганда бажарилиши керак. Бу эса (5) нинг чизи=ли эркли эканлигига зиддир. (6) ни v га нисбатан ечиб v = '1a1 + '2a2+ ... + 'm am (7) ни щосил =иламиз. Энди ягоналигини исботлайлик. (7) билан бирга v= 1a1 + 2a2+ ... + mam былса, у щолда ( '1 -1) a1 +( '2 -2) a2+ ... + ( 'm -m) am =0 былади. (5) cистема чизи=ли эркли былгани учун '1 -1 =0, '2 -2=0, ... , 'm -m =0 ёки '1 = 1, '2 = 2, ... , 'm = m былади. 5°. Агар a L(b1 , b2 ,... , bm ) ва b1 , b2 ,... , bm L(с1 , с2 ,... , сs ) былса, a L(c1 , c2 ,... , cs ) былади. Ща=и=атан щам, a L(b1 , b2 ,... , bm ) дан a = 1b1 + 2b2+ ... + m bm . (8) b1 , b2 ,... , bm L(с1 , с2 ,... , сs ) былгани учун эса b1= 11с1 + 12 с2+ ... + 1s cs b2= 21c1 +22 c2+ ... + 2s cs .............................................. (9) bm=m1c1 + m2c2+ ... + ms cs . (9) ни (8)га олиб бориб =ыйсак a=(1 11 + 2 21 + ... + m m1 )c1+(1 12 + 2 22 + ... + m m2 )c2+ . . . + +(1 1s + 2 2s + ... + m ms )cs ёки i =1 1i + 2 2i + ... + m m i ) деб белгилаб олсак a= 1с1 + 2с2+ ... + s сs щосил былади,яъни a L(c1 , c2 ,... , cs ). Теорема. Агар a1 , a2 , . . . , a m+1 L(b1 , b2 ,... , bm ) былса, a1 , a2 , . . .,a m+1 системаси чизи=ли бо\лангандир. Исботи. m га нисбатан математик индукция методи билан исботлаймиз. a1, a2 , . . . , a m+1 векторларнинг барчасини нолдан фар=ли деб оламиз, акс щолда теорема ыз ызидан тушунарли. m=1 да a1 , a2 L(b1) былиб, бундан a1= =1b1 , a2 = 2b2 ни, ёки -11 a1 +(- 2 )-1 a2 =0 , бу ерда 1 , 2 . Демак, a1 , a2 векторлар чизи=ли бо\ланган ва m=1 да теорема ыринли. Фараз этайлик, m= n-1 да теорема ыринли былсин. Биз унинг m=n учун ыринли эканлигини исботлаймиз. Бу щолда a1 ,a2 , . . . , an+1 L(b1 , b2 ,... ,bn) дан a1= 11b1 + 12 b2+ ... + 1n bn a2= 21b1 + 22 b2+ ... + 2n bn .............................................. (10) an= n1b1 + n2b2+ ... + n n bn an+1= n+1,1b1 + n+1,2b2+ ... + n+1, n bn Агар(10) да bn нинг олдидаги барча коэффициентлар нолга тенг былса, у щолда a1 ,a2 , . . . , an L(b1 , b2 ,... ,bn-1) ва индуктивлик фаразимизга кыра a1,a2 , . . ., an система ва демак a1 ,a2 , . . . , an , an+1 система щам чизи=ли бо\ланган былади. Агарда бу коэффициентлардан бирортаси, масалан n+1, n нолдан фар=ли былса, у щолда =олган барча тенгликлардан bn векторни йу=отамиз: a1 -1 an+1 ='11b1 + '12 b2+ ... + '1,n-1 bn-1 a2 -2 an+1 ='21b1 + '22 b2+ ... + '2,n-1 bn-1 ..................................................................... an -n an+1 ='n1b1 + 'n2 b2+ ... + 'n,n-1 bn-1 щосил былади. Индуктивлик фаразимизга кыра a1 -1 an+1 , a2 -2 an+1, an -n an+1 векторлар системаси чизи=ли бо\ланган, щеч былмаса бирортаси нолдан фар=ли былган 1, 2 , . . . , n cонлари мавжуд былиб 1 (a1 -1 an+1 )+2 (a2 --2 an+1) +n ( an -n an+1 )=0 тенглик бажарилади ёки бундан 1 a1+2 a2+ ...+ +n an+n+1 an+1 = 0 щосил былади. Бу ерда n+1 = -(11 + 22 +. . . +nn ). Шундай =илиб , a1 ,a2 , . . . , an , an+1 векторлар чизи=ли бо\ланган. Теорема исбот былди. Натижалар. 1). Агар a1 , a2 , . . . , ak L(b1 , b2 ,... , bm ) былиб, k> m былса a1 , a2 , . . . , ak векторлар системаси чизи=ли бо\ланган былади. 2). Агар a1 , a2 , . . . , ak L(b1 , b2 ,... , bm ) былиб a1 , a2 , . . . , ak векторлар системаси чизи=ли бо\ланмаган былса, k m былади. 3). n ылчовли арифметик фазодаги щар =андай n+1 та ва ундан орти= векторлардан тызилган система чизи=ли бо\лангандир. Бу 3- натижа щар =андай n ылчовли вектор (1 , 2 , . . . , n) ни бирлик векторлар ор=али ифодалаш мумкин эканлигидан, яъни (1 , 2 , . . . , n)=1 e1 + 2 e2 + . . .+ n en L(e1 , e2 ,... , en ) эканлигидан келиб чи=ади. Yüklə 1,93 Mb. Dostları ilə paylaş:
|