Аллакова Дилбар

а₂ a₁, a₂ a₃ , ... , a₂ a_m-1 , a₂ a_m
.........................................................
a_m а₁ , a_m a₂ , ... , a_m a_{m- 2} a_m a_m-1

бунда m та сатр ва m-1 та устун бор. Демак, A_m ² = m(m-1). Энди m элементдан 3 тадан тызилган ыринлаштиришларни щосил =илиш учун m элементдан 2 тадан m(m-1) та ыринлаштиришларни ёзиб олиб уларнинг щар бирининг ёнига =олган m-2 та элементларни ёзиб чи=амиз:

а₁ a₂ a₃ , а₁ a₂ a₄ , ... , а₁ a₂ a_m-1 , а₁ a₂ a_m
a₁ а₃ a₂ , a₁ a₃ a₄ , ... , a₁ a₃ a_m-1 , a₁ a₃ a_m
......................................................... ................................
a_m a_m-1 а₁ , a_m a_m-1 a₂ , ... , a_m a_m-1 a_{m- 3} , a_m a_m-1 a_{m- 2 .}

Бу ерда m(m-1) та сатр ва m-2 та устун бор. Демак, A_m³ = m(m-1)(m-2).
Бу жараённи n марта такрорлаб (1) формулани щосил =иламиз. Мисол: A₅ ³ = 5.4.3=60
2. Ырин алмаштиришлар. m та элементдан тузилган ырин алмаштиришлар деб щар бирида m та элемент былиб, бир-биридан фа=ат элементларининг жойлашиш тартиби билангина фар= =илувчи бирикмаларга айтилади.
m та элементдан тузилган ырин алмаштиришлар сони P_m (permutation) сызининг бош щарфи билан белгиланади.
Таърифга кыра
P_m= A_m^m = m(m-1) (m-2) ... 3 .2. 1 = m ! (2)
Шунингдек A_mⁿ = m(m-1 ) (m-2)... (m-(n-1))= m(m-1)(m-2)... (m-(n-1))(m-n)(m-n-1)...... 3.2.1 / (m-n)(m-n-1)...2.1 = m ! / (m-n) ! = P_m / P_{m - n} , яъни
A_mⁿ = P_m / P_{m - n} . (3)
3.Группалашлар. m элементдан n тадан тузилган группалашлар деб щар бирида n та элемент былиб, бир-биридан камида бирта элементи билан фар= =илувчи бирикмаларга айтилади.
m элементдан n тадан тызилган группалашлар сони C_mⁿ (combination сызининг бош щарфи) билан белгиланади. Таърифдан C_mⁿ P_n =A_mⁿ. Бундан
C_mⁿ = A_mⁿ / P_n (4)
Демак,
C_mⁿ = m(m-1)(m-2)... (m-(n-1)) / n! . (5)
(3) ва (4) дан
C_mⁿ = P_m / P_{m - n} P _{n .} (6)
(6) дан (2) га кыра
C_mⁿ = m! / n! (m-n)! . (7)
Хоссалари :
1⁰. C_mⁿ = C_m^m-n .
Ща=икатдан щам (6) C_m^m-n = P_m / P_{m - n} P_m-m+n = P_m / P_{m - n} P _n = C_mⁿ .

2⁰. C_mⁿ + C_mⁿ⁺¹=C_m+1ⁿ⁺¹ .

Исботи.
C_mⁿ + C_mⁿ⁺¹= m(m-1)(m-2)... (m-(n-1)) / n! + m(m-1)(m-2)... (m-(n-1))(m-n)/
/ n!(n+1) = m(m-1)(m-2)... (m-(n-1))(m+1) / (n+1)! = C_m+1ⁿ⁺¹ .
Биз C_m⁰= 1 деб белгилаб оламиз.


Ньютон биноми. Бизга ырта мактаблардан маълумки
a+b = a+b
(a+b)² = a²+2ab+b²
(a+b)³ = a³+3a²b +3ab²+b³.
Энди (a+b)ⁿ ни щам шу тарзда езиш мумкин эканлигини исботлаймиз, яъни ушбу тенглик ыринли:
(a+b)ⁿ = aⁿ+na^n-1b +(n(n-1)/2!) a^n-2b²+(n(n-1)(n-2)/ 3!) a^n-3b³+ .... +b^{n .} (8)
Бу формулани исботлаш учун, аввало =уйидаги тенгликнинг ихтиёрий натурал сон n учун ыринли эканлигини кырсатамиз: (a+b₁)
(a+b₂) (a+b₃) .... (a+b_n) = aⁿ+ s₁ a^n-1 + s₂ a^n-2 + s₃ a^n-3 +.... + s_n, (9)
бу ерда
s₁ = b₁+b₂+ ....+b_n
s₂ = b₁ b₂ +b₁ b₃ + .... +b_n-1 b_n
s₃ = b₁ b₂ b₃+ b₁b₂ b₄ + .... + b_{n- 2}b_n-1 b_n (10)
................................................................
s_n = b₁ b₂ ... b_n .

(9) -тенглик n=1 да ыринли (a+b₁)¹ = (a+b₁). Энди фараз =илайлик (9) тенглик n>1 учун ыринли былсин. Биз унинг n+1 учун щам ыринли эканлигини исботлаймиз. (9) нинг иккала томонини (a+b_n+1) га кыпайтирамиз. У щолда
(a+b₁) (a+b₂) (a+b₃) .... (a+b_n) (a+b_n+1) =
= aⁿ⁺¹+ S₁ aⁿ + S₂ a^n-1 + S₃ a^n-2 +.... + S_n a + S_n+1 ,
бу ерда
S₁ = s₁+b_n+1 = b₁+b₂+ ...+b_n+b_n+1
S₂ = s₂+ s₁b_n+1 = b₁ b₂ +b₁ b₃ + .... +b_n b_n+1
S₃ = s₃+ s₂b_n+1 = b₁ b₂ b₃+ b₁b₂ b₄ + .... + b_{n- 1}b_n b_n+1
...................................................................................
S_n = b₁ b₂ ... b_n + ... + b₂ b₃ ... b₁ b₂ ... b_n
S_n+1 = b₁ b₂ ... b_n b_n+1 .
Демак (9) формула ихтиёрий n натурал сон учун ыринлидир.
Агар (9) да b₁ =b₂ = ... =b_n = b деб олсак :
(a+b)ⁿ = aⁿ+ C_n¹a^n-1b + C_n² a^{n- 2} b²+ C_n³ a^n-3b³+ .... + C_nⁿbⁿ (11)
Бунда (5) формуладан фойдалансак (8) келиб чи=ади .
(11) ни =уйидагича ёзиш мумкин :
(a+b)ⁿ = C_n⁰aⁿ+ C_n¹a^n-1b + C_n² a^{n- 2} b²+ C_n³ a^n-3b³+ .... + C_nⁿbⁿ (12)
Маълумки C_n^p = C_n^n-p былгани учун Ньютон биноми формуласидаги бошдан ва охиридан бир хил узо=ликда турган щадларнинг коэффициентлари (биномиал коэффициентлар) тенгдир.
Агар (12) да a=b деб олсак :
2ⁿ = C_n⁰+ C_n¹ + C_n² + C_n³+ .... + C_nⁿ ;
агарда a=1, b= -1 деб олсак: 0 =C_n⁰- C_n¹ + C_n² - C_n³ + .... + C_nⁿ(-1)ⁿ ёки бундан C_n⁰+C_n² + C_n⁴ + C_n⁶ + .... = C_n¹+ C_n³ + C_n⁵ + C_n⁷ + ....,
яъни жуфт ыриндаги биномиал коэффициентлар йи\индиси то= ыринда турган биномиал коэффициентлар йи\индисига тенг.
Мисоллар :
(a+b)⁰ = 1 1
a+b = a+b 1 1
(a+b)² = a²+2ab+b² 1 2 1
(a+b)³ = a³+3a²b +3ab²+b³ 1 3 3 1
(a+b)⁴ = a⁴+4 a³b+6a²b²+4ab³+ b⁴ 1 4 6 4 1
(a+b)⁵ = a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³ +5ab⁴+b⁵ 1 5 10 10 5 1
......................................................................... ............................................

Бу ёйилмалардаги биномиал коиффициентларни Паскал учбурчаги деб аталувчи ынг томонда келтирилган учбурчак ёрдамида ани=лаш мумкин.

Мавзуни мустащкамлаш учун саволлар.

1. Пеано аксиомаларини айтинг.

2. Математик индукция методининг мощияти ща=ида гапириб беринг.
3. Теоремалар ва уларни исботлаш усуллари ща=ида нималарни биласиз?
4. Бирлашмалар =андай турларга былинади?
5. m элементдан n тадан (1 n m) тызилган ыринлаштиришларга таъриф беринг.
6. m элементдан тызилган ырин алмаштиришларга таъриф беринг ва уларнинг сонини щисоблаш формуласини ёзинг.
7. m элементдан nтадан(1 n m) тызилган группалашлар деб нимага айтилади?
8. Ньютон биноми формуласини езинг.
9. Биномиал коэффициентлар =андай хоссаларга эга?
10. Паскал учбурчаги ва биномиал коэффициентлар орасида =андай бо\ланиш бор?


8-МАЪРУЗА
МАВЗУ: АЛГЕБРАИК АМАЛ АНИ+ЛАНГАН ТЫПЛАМЛАР ВА АЛГЕБРАЛАР
РЕЖА:
1. Бинар, n-ар алгебраик амаллар. Алгебра тушунчаси.
2. Бинар алгебраик амалларнинг хоссалари .
3. Нейтрал элементлар .
4. Регуляр элементлар .
5. Симметрик элементлар .
6. Алгебраик амалга нисбатан ёпи= тыплам. Мисоллар.
7. Амалларнинг аддитив ва мультипликатив ёзуви.
АДАБИЕТЛАР [ 1 ,2].

Щозирги замон алгебраси тыплам ва унинг элементлари учун ани=ланган алгебраик амаллар ва уларнинг хоссаларини ырганади. Фараз этайлик бизга быш былмаган А тыплам берилган былсин.

1- таъриф. АХА ту\ри кыпайтмани А тыпламга мос =ыювчи  : АХAА акслантиришга А тыпламда ани=ланган бинар алгебраик амал дейилади.
Таърифга асосан (a,b), (a,b  А ) тартибланган жуфтликка cA элемент мос келгани щолда (b,a) га c элемент мос келмасдан бош=а бир dА элемент щам мос келиши мумкин.  акслантириш ёрдамида a  b АХА жуфтликка сА элементнинг мос =ыйилиши (a,b)=c, (a,b) = c, a b=c кыринишда белгиланади. Одатда кыпчилик щолларда бинар алгебраик амалларни белгилаш учун махсус *, +, , t, ... белгилар щам ишлатилади. Мактаб математика курсидан маълум былган арифметик =ышиш ва кыпайтириш амаллари щам бинар алгебраик амалларга мисол была олади.
2-таъриф. Агар Aⁿ=АХАХ ...ХА декарт кыпайтманинг щар бир (a₁, a₂,...,a_n) элементига А тыпламнинг ягона a_n+1 элементи мос =ыйилган былса, А тыпламда ранги n га тенг былган ( n ыринли, n-ар) алгебраик амал ани=ланган дейилади.
n-ар алгебраик амални  билан белгиласак  (a₁ , a₂ ,..., a_n) = a_n+1. Баъзи щолларда a_n+1 A былиши мумкин. Бундай щолларда =аралаётган  алгебраик амал А тыпламдаги =исмий алгебраик амал деб юритилади.
Алгебраик амаллар ноль, бир, икки, уч,... ыринли былиши мумкин. Улар мос равишда нулар, унар, бинар, тернар,..., n-ар алгебраик амал дейилади.
1). А тыпламнинг исталган элементини алощида олиш - нулар алгебраик амалдир.
2). P(M)-M тыпламнинг барча =исм тыпламлари тыплами былсин. Щар бир А P(M) тыпламга унинг тылдирувчиси А' =M\А ни мос =уювчи акслантириш унар алгебраик амалга мисол былади.
3). Натурал сонлар тыпламидаги айириш амали =исмий алгебраик амалга мисол былади.
4). Бутун сонлар тыпламидаги былиш амали щам бутун сонлар тыпламидаги =исмий алгебраик амалдир.
5). n та натурал сонлар a₁ , a₂ ,..., a_n га уларнинг энг катта умумий былувчиси d ни мос =уювчи амал n-ар алгебраик амалдир.
Бирта А тыпламда ани=ланган барча алгебраик амаллар f₁ , f₂ ,..., f_s былсин.
3-таъриф. Быш былмаган А тыплам ва унда ани=ланган алгебраик амаллар тыплами  дан тызилган   жуфтликка алгебра дейилади.
Агар  даги амаллар сони чекли былса, улар санаб кырсатилади, яъни А  f₁ , f₂ ,..., f_s  кыринишда ёзилади.    былса, А тыпламга А алгебранинг асосий тыплами,  га эса асосий амаллар тыплами дейилади. f алгебраик амалнинг ранги r(f) кыринишда белгиланади. (r( f₁ ), r(f₂ ),..., r(f_s)) га А  f₁ , f₂ ,..., f_s  алгебранинг типи дейилади.
Масалан,  N  + , .  , ( 2,2,0) типли
 Z  + , - ,.  , ( 2,2,2) типли
 P(M)   ,  ,   , ( 2,2,1) типли алгебрадир.
Бинар алгебраик амалларнинг хоссалари. Фараз этайлик,  ва t лар А тыпламдаги ихтиёрий бинар алгебраик амаллар былсинлар.
Агарда А тыпламнинг ихтиёрий a,b элементлари коммутатив учун a b = = b a тенглик ыринли былса,  амални А тыпламдаги коммутатив алгебраик амал дейилади.
Агар А тыпламнинг ихтиёрий a,b,c A элементлари учун (at b)t c=at(b t c) тенглик бажарилса , t алгебраик амалга А тыпламдаги ассоциатив бинар алгебраик амал дейилади .
Агар А тыпламнинг ихтиёрий a,b,c А элементлари учун (a  b) t c= =(a t c )  (b t c) тенглик ыринли былса, t алгебраик амал  амалга нисбатан дистрибутив алгебраик амал дейилади.
Агар  амал ассоциатив былса, (a b) c ёки a (bc) ёзувда =авсларни тушириб =олдириш мумкин.
Мисоллар. 1). Сонлар тыпламлари N, Z, Q, R даги арифметик =ышиш ва кыпайтириш амаллари коммутатив ва ассоциативдир. Шунингдек, бу тыпламларда кыпайтириш =ышишга нисбатан дистрибутив щам с.(a+b)=c.a+c.b, лекин =ышиш кыпайтиришга нисбатан дистрибутив эмас: (c.a)+b  (c+b).(a+b).
2). Z даги айириш амали ва даражага кытариш амаллари коммутатив эмас: a-b b-a; a^b b^a.
Бу айириш ва даражага кытариш амаллари ассоциатив щам эмас.
3). Р(М) тыпламда ани=ланган , амаллари коммутатив, ассоциатив ва щар бири иккинчисига нисбатан дистрибутив щамдир.
Нейтрал элементлар.t А тыпламда ани=ланган бинар алгебраик амал былсин. Агар А тыпламнинг ихтиёрий aА учун А да at ё=а (еtа=а) шартни =аноатлантирувчи е элемент мавжуд былса, е га ынг (чап) нейтрал элемент дейилади.
Агарда а А учун а t е= е t а былса, у щолда е га нейтрал элемент дейилади.
1-теорема. Агар t бинар алгебраик амалга нисбатан нейтрал элемент мавжуд былса, у ягонадир.
Ща=икатдан щам агар е ва е' ларни нейтрал элементлар десак:
at e=et a=a ва at е' = е't a =a былиши керак. У щолда e= е't e= е' .
Натижа. Агар t амалга нисбатан нейтрал элемент мавжуд былса, барча ынг ва чап нейтрал элементлар шу нейтрал элемент билан устма-уст тушади.
Мисоллар. 1). Z, Q, R сонлар тыпламларида =ышишга нисбатан нейтрал элемент 0 сонидир. Бу тыпламларда кыпайтиришга нисбатан нейтрал элемент 1 сонидир.
N-натурал сон тыпламида =ышишга нисбатан нейтрал элемент мавжуд эмас, кыпайтиришга нисбатан эса 1 дир.
2). P(M) тыпламидаги  амалга нисбатан нейтрал элемент  тыплам;  амалга нисбатан нейтрал элемент эса U- универсал тыплам былади.
Регуляр элементлар. Агар а А элемент ихтиёрий b, с А элементлар учун аtb= аtc(btа=сtа) тенгликлан b=c келиб чи=са, а га t амалга нисбатан А тыпламдаги ынг регуляр (чап регуляр) элемент дейилади.
Агар а А элемент t амалга нисбатан чап ва ынг регуляр элемент былса, у щолда ынга регуляр элемент дейилади.
Шундай =илиб, агар а регуляр элемент былса аt b= аtc тенгликни а га =ис=артириш мумкин.
Мисоллар: 1). Щар бир бутун сон =ышиш амалига нисбатан регулярдир.
2). Нолдан фар=ли щар бир бутун сон кыпайтиришга нисбатан регуляр. 0 эса регуляр эмас.
3). N тыпламда даражага кытариш a^x= a^y  x=y (a>1) хоссага эга былгани учун 1 дан бош=а барча элементлар бу амалга нисбатан ынгдан регуляр ва x^a= y^a былгани учун N нинг барча элементлари чапдан регулярдир.
2- теорема. Агар а ва b элементлар ассоциатив бинар t амалга нисбатан регуляр былсалар, уларнинг композицияси аt b щам t амалга нисбатан регуляр былади.
Исботи. а ва b лар регуляр былгани учун at c = at d дан c=d ва
bt c =b t d дан c= d келиб чи=ади. Энди фараз этайлик, c ва d элементлар (at b)t c = (at b)t d шартни =аноатлантирсин. У щолда t нинг ассоциативлигидан (at b)t c=at(b t c) ва (at b)t d =at(btd). Буларнинг чап томонлари тенг былганлиги учун ынг томонлари щам тенг былиши керак:
at(b t c) = at(b t d)  b t c = b t d  с=d. Демак, а А элемент элемент ынгдан регуляр экан. Чапдан регулярлиги щам шу усулда кырсатилади.
Симметрик элементлар. Фараз этайлик, t A тыпламдаги нейтрал элементга эга былган бинар алгебраик амал былсин. а А элемент учун аt u=e (ut a=e) шартларни =аноатлантирувчи u А элементга a элементга нисбатан ынг (чап) симметрик элемент дейилади.
Агарда, ata' = a't a= e тенглик ыринли былса, у щолда элемент a элементга симметрик элемент дейилади.
Мисоллар. 1). Z тыпламда =ышиш амалига нисбатан a элементга симметрик элемент -a былади.
2). R тыпламда кыпайтириш амалига нисбатан a (a 0) элементга симметрик элемент 1/a былади. 0 учун эса бу щолда симметрик элемент мавжуд эмас.
3-теорема. Ассоциатив t амалга нисбатан a элементга симметрик элемент мавжуд былса, у ягонадир.
Исботи. Фараз этайлик, u,v лар a га симметрик элементлар былсин. У щолда atu = ut a= e ва atv = vt a= e. t амалнинг ассоциатив эканлигидан u= ute= = ut (atv)=(uta)tv = etv= v.
Натижа. Агар a га t амалга нисбатан симметрик элемент a' мавжуд былса, у щолда a элементнинг барча ынг ва чап симметрик элементлари a' га тенг былади.
4-теорема. Агар a ва b элементлар учун ассоциатив t амалга нисбатан симметрик a' ва b' элементлар мавжуд былса, у щолда at b га симметрик элемент щам мавжуд ва у b't a' дан иборат былади.
Ща=икатан щам, (at b) t (b't a' )=((at b) t b')t a' =( at (bt b'))t a' =( atе)t a' =аt a' = е.
Натижа. Агар а элемент учун ассоциатив t амалга нисбатан симметрик элемент a' мавжуд былса, а элемент t амалга нисбатан регуляр элемент былади.
Ща=икатан щам, аt a' = a't a= е былиб, аt b= аtc былсин. У щолда a't(at b)=a't(atc) ёки (a'ta)t b=(a'ta)tc бундан эса et b= etc  b= c.
Фараз этайлик, A тыпламда t - бинар амал ани=ланган былсин ва ВА былсин.
Агарда a,b B, at b B былса, у щолда В тыпламга t амалга нисбатан ёпи= тыплам дейилади.
4-теоремадан келиб чи=адики, ассоциатив бинар амал t га нисбатан симметрик элементга эга былган барча элементлар тыплами t амалга нисбатан ёпи=дир. B A былса, A да ани=ланган t амал, B да бирор t ' бинар алгебраик амални ани=лайди: at' b= at b, a,b B.
Бу щолда t амалга В тыпламда ани=ланган t' амалнинг А даги давоми дейилади.
Агарда t амал у ёки бу маънода арифметик =ышиш (кыпайтириш) амали билан бо\ли= былса, ынга аддитив (мультипликатив) алгебраик амал дейилади ва + () билан белгиланади. Бу щолда нейтрал элементга ноль 0 (1 бирлик) элемент, симметрик элементга эса =арама-=арши (тескари) элемент дейилади.